Leia a seguinte passagem de texto: "A integral indefinida mostrada a seguir ∫ 2 x ( x + 5 ) ( x − 3 ) d x corresponde ao resultado do processo de otimização de um produto vendido no mercado e diz respeito à quantidade desse produto num intervalo I ." Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Faccin, Giovani Manzeppi. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 147 Considerando as discussões realizadas na Videoaula 2 - Regras de Integração da Aula 01 - Integração Indefinida, assinale a alternativa que apresenta a expressão matemática que representa a quantidade desse produto no intervalo considerado. A 2 ( x 4 4 + 2 x 3 3 − 15 x 2 2 ) + C B 3 ( x 5 5 + 5 x 3 3 + 12 x 2 5 ) + C C 4 ( x 4 4 − 5 x 3 5 + 12 x 2 ) + C D 5 ( x 5 3 + x 2 3 + 2 x 3 ) + C E 7 ( x 3 3 + 3 x 2 2 − 2 x 3 ) + C

Question

Leia a seguinte passagem de texto:  "A integral indefinida mostrada a seguir  ∫ 2 x ( x + 5 ) ( x − 3 ) d x  corresponde ao resultado do processo d...

Ed · Answer

Para resolver a integral indefinida $\int 2x (x + 5)(x - 3) \, dx$, precisamos primeiro expandir a expressão dentro da integral.

1. **Expandindo a expressão**:
   $$
   2x (x + 5)(x - 3) = 2x [(x^2 + 5x - 3x - 15)] = 2x (x^2 + 2x - 15)
   $$
   $$
   = 2x^3 + 4x^2 - 30x
   $$

2. **Integrando**:
   Agora, integramos cada termo:
   $$
   \int (2x^3 + 4x^2 - 30x) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{30}{2}x^2 + C
   $$
   $$
   = \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 15x^2 + C
   $$

3. **Multiplicando por 2 para simplificar**:
   Para facilitar a comparação com as alternativas, podemos multiplicar toda a expressão por 2:
   $$
   = x^4 + \frac{8}{3}x^3 - 30x^2 + 2C
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $2 (x^4 + 2x^3 - 15x^2) + C$  
B) $3 (x^5 + 5x^3 + 12x^2) + C$  
C) $4 (x^4 - 5x^3 + 12x^2) + C$  
D) $5 (x^5 + x^2 + 2x^3) + C$  
E) $7 (x^3 + 3x^2 - 2x) + C$

A alternativa que mais se aproxima do resultado da integral que encontramos é a **A**: $2 (x^4 + 2x^3 - 15x^2) + C$.

Portanto, a resposta correta é a) $2 (x^4 + 2x^3 - 15x^2) + C$.

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