Grátis: 2.7.5 Mostre que, no caso da série de Fourier complexa: a) se x(t) é real e par, então C_n é real e par; b) se x(t) é real e ímpar, então C_n é ima...

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2.7.5 Mostre que, no caso da série de Fourier complexa: a) se x(t) é real e par, então C_n é real e par; b) se x(t) é real e ímpar, então C_n é imaginário e ímpar.

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Para responder a essa questão sobre a série de Fourier complexa, vamos analisar as duas afirmações: a) Se \( x(t) \) é real e par, então \( C_n \) é real e par. - Uma função \( x(t) \) é par se \( x(t) = x(-t) \). Para a série de Fourier complexa, os coeficientes \( C_n \) são dados por \( C_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-j \omega_n t} dt \). Se \( x(t) \) é par, a integral resulta em um valor real, e os coeficientes \( C_n \) também serão pares. b) Se \( x(t) \) é real e ímpar, então \( C_n \) é imaginário e ímpar. - Uma função \( x(t) \) é ímpar se \( x(t) = -x(-t) \). Nesse caso, a integral para \( C_n \) resulta em um valor imaginário, e os coeficientes \( C_n \) serão ímpares. Portanto, ambas as afirmações são verdadeiras. Se você precisa escolher uma, a primeira afirmação (a) é frequentemente mais utilizada em contextos de análise de sinais. Se precisar de mais detalhes ou explicações, é só avisar!

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1.8.2 A soma de duas ou mais senóides pode ou não ser periódica dependendo da relação entre as frequências. Considere a soma de duas senóides com frequências f1 e f2. Para a soma ser periódica, f1 e f2 devem ser comensuráveis, i.e., deve existir um número f0 contido um número inteiro de vezes em f1 e f2. Se f0 é esse número, então:

f1=n1f0 e f2=n2f0
onde n1 e n2 são inteiros, e f0 é a frequência fundamental.

Para os sinais abaixo, determine quais são periódicos e o período, quando aplicável.

a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3 
b) x t t t( ) cos(5 ) cos( )  5 15
c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12 
d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( )  4 2 3 4 5 26  

2.7.2. Mostrar que a série trigonométrica de Fourier (2.40) também pode ser escrita na forma: ∑_{n=0}^{+∞} c_n(t)cos(nω_0t + φ_n), onde a_n = √(b_n^2 + a_n^2) e tg(φ_n) = b_n/a_n.

2.7.6 Seja x(t) um sinal periódico com período T0=1/f0, e cuja série de Fourier complexa tem coeficientes C_n= c(nf0). É obtido outro sinal y(t)=x(t-τ), que também é periódico. Determinar os coeficientes da série de y(t) em função de C_n.

2.7.10 Considere-se a função trem de impulsos de período T1 definida por: ∑_{n=-∞}^{+∞} δ(t-nT1). a) Esboçar o gráfico da função δ(t) [rep1T]. b) Calcular a série de Fourier de δ(t) [rep1T].

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Para os sinais abaixo, determine quais são periódicos e o período, quando aplicável.

a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3 
b) x t t t( ) cos(5 ) cos( )  5 15
c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12 
d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( )  4 2 3 4 5 26  

2.7.2. Mostrar que a série trigonométrica de Fourier (2.40) também pode ser escrita na forma: ∑_{n=0}^{+∞} c_n(t)cos(nω_0t + φ_n), onde a_n = √(b_n^2 + a_n^2) e tg(φ_n) = b_n/a_n.

2.7.6 Seja x(t) um sinal periódico com período T0=1/f0, e cuja série de Fourier complexa tem coeficientes C_n= c(nf0). É obtido outro sinal y(t)=x(t-τ), que também é periódico. Determinar os coeficientes da série de y(t) em função de C_n.

2.7.10 Considere-se a função trem de impulsos de período T1 definida por: ∑_{n=-∞}^{+∞} δ(t-nT1). a) Esboçar o gráfico da função δ(t) [rep1T]. b) Calcular a série de Fourier de δ(t) [rep1T].

Citar um exemplo de ambos, um sistema causal e um não causal.

Citar um exemplo de ambos, um sistema estável e um não estável.

Citar um exemplo prático de sistema estável e outro instável.

Citar um exemplo de ambos, um sistema invariante e um não invariante.

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Para os sinais abaixo, determine quais são periódicos e o período, quando aplicável.a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3 b) x t t t( ) cos(5 ) cos( )  5 15c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12 d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( )  4 2 3 4 5 26  

2.7.2. Mostrar que a série trigonométrica de Fourier (2.40) também pode ser escrita na forma: ∑_{n=0}^{+∞} c_n(t)cos(nω_0t + φ_n), onde a_n = √(b_n^2 + a_n^2) e tg(φ_n) = b_n/a_n.

2.7.6 Seja x(t) um sinal periódico com período T0=1/f0, e cuja série de Fourier complexa tem coeficientes C_n= c(nf0). É obtido outro sinal y(t)=x(t-τ), que também é periódico. Determinar os coeficientes da série de y(t) em função de C_n.

2.7.10 Considere-se a função trem de impulsos de período T1 definida por: ∑_{n=-∞}^{+∞} δ(t-nT1). a) Esboçar o gráfico da função δ(t) [rep1T]. b) Calcular a série de Fourier de δ(t) [rep1T].

Citar um exemplo de ambos, um sistema causal e um não causal.

Citar um exemplo de ambos, um sistema estável e um não estável.

Citar um exemplo prático de sistema estável e outro instável.

Citar um exemplo de ambos, um sistema invariante e um não invariante.

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a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3 
b) x t t t( ) cos(5 ) cos( )  5 15
c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12 
d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( )  4 2 3 4 5 26  