Sinais e Sistemas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
"JÚLIO DE MESQUITA FILHO" 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
ELE 0331 
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 
 
Ricardo Tokio Higuti 
& 
Cláudio Kitano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISA Julho/2003
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 
Versão 1.0: 1997 
Versão 1.1: 2003 
 
 
 
 
 
 
Ricardo Tokio Higuti 
& 
Cláudio Kitano 
 
Departamento de Engenharia Elétrica da 
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira 
UNESP 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos reservados. 
Reprodução por quaisquer meios proibida sem autorização dos autores. 
 
Prof. Ricardo Tokio Higuti 
e-mail: tokio@dee.feis.unesp.br 
0xx18 3743 1128 
 
Prof. Cláudio Kitano 
e-mail: kitano@dee.feis.unesp.br 
0xx18 3743 1226 
 
DEE-FEIS-UNESP 
Av. Brasil Norte, 364 - Caixa Postal 31 
15 385 000 - Ilha Solteira – SP 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
RTH/CK i
Índice: PG. 
 
CAPÍTULO 1: REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 1
1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 1
 1.1.1 Sinais unidimensionais e multidimensionais 3
 1.1.2 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto 3
 1.1.3 Sinais determinísticos e aleatórios 3
 1.1.4 Sinais reais e complexos 4
 1.1.5 Sinais limitados no tempo 4
 1.1.6 Sinais limitados em amplitude 5
 1.1.7 Sinais fisicamente realizáveis 5
1.2. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 5
 1.2.1 Rebatimento ou espelhamento 5
 1.2.2 Compressão e expansão 6
 1.2.3 Deslocamento no tempo 6
 1.2.4 Relações de simetria 7
 1.2.5 Sinais periódicos 7
1.3. SINAIS ELEMENTARES 8
 1.3.1. Sinais senoidais eternos 8
 1.3.2. Exponencial real 9
 1.3.3. Exponencial complexa periódica 9
 1.3.4. Exponencial complexa - caso geral 11
 1.3.5. Função sinc 12
 1.3.6. Função pulso triangular 12
 1.3.7. Função pulso Gaussiano de área unitária 13
1.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 13
 1.4.1 Função degrau unitário 13
 1.4.2. Função sinal 14
 1.4.3. Função porta ou pulso unitário 14
 1.4.4. Função impulso 15
 1.4.5 Sobre a existência do impulso 17
 1.4.6 Impulsos no limite 18
1.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS 20
1.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA 26
 1.6.1 Sinais de Energia 27
 1.6.2 Sinais de Potência 28
1.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE 30
1.8 EXERCÍCIOS 32
 
CAPÍTULO 2: ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE 
FOURIER 35
2.1 FASORES GIRANTES 35
 2.1.1 Espectro de linhas unilateral 36
 2.1.2 Espectro de linhas bilateral 38
 2.2. PRODUTO ESCALAR – SEMELHANÇA ENTRE SINAIS 39
2.3 SÉRIE DE FUNÇÕES 43
 2.3.1 Ortogonalidade de funções reais 43
 2.3.2 Ortogonalidade de Funções Complexas 48
 2.3.3 Série trigonométrica de Fourier 50
ÍNDICE 
 
RTH/CK ii
 2.3.4 Série de Fourier-Legendre 51
 2.3.5 A Série exponencial de Fourier 52
 2.3.6 Representação de uma função periódica pela série de Fourier 52
2.4 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA DISCRETO 55
2.5 EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 59
2.6- FÓRMULA DE PARSEVAL E DISTRIBUIÇÃO DE POTÊNCIA 62
2.7 EXERCÍCIOS 63
 
CAPÍTULO 3: ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: 
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 65
3.1 A TRANSFORMADA DE FOURIER 67
 3.1.1. Pulso retangular de duração  (função porta) 69
 3.1.2. Impulso de área unitária 71
3.2 CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER 71
3.3 RELAÇÕES DE SIMETRIA 73
3.4 TEOREMA DE PARSEVAL 75
3.5 LARGURA DE BANDA ESPECTRAL 76
3.6. RELAÇÃO ENTRE A TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO 
CONTÍNUO E SINAIS PERIÓDICOS 78
3.7. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 78
 3.7.1 Transformada de Fourier de seno e co-seno eternos 80
3.8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 81
 3.8.1 Linearidade 82
 3.8.2 Deslocamento no tempo 82
 3.8.3 Teorema da dualidade 83
 3.8.4 Translação em frequência 84
 3.8.5 Escalonamento no tempo e frequência 85
 3.8.6 Propriedade das áreas 85
 3.8.7 Diferenciação e integração no tempo 85
 3.8.8 Diferenciação e integração em frequência 87
 3.8.9 Convolução e multiplicação 87
 3.8.10 Modulação real 88
3.9 TRANSFORMADAS NO LIMITE 90
 3.9.1. Função sinal 90
 3.9.2. Função constante 91
 3.9.3. Degrau unitário 92
3.11 EXERCÍCIOS 93
 
CAPÍTULO 4: ANÁLISE DE SISTEMAS 99
4.1. INTRODUÇÃO 99
4.2. CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS 100
 4.2.1 Sistemas com e sem memória 100
 4.2.2. Inversibilidade e sistemas inversos 101
 4.2.3. Causalidade (ou realizabilidade) 102
 4.2.4. Estabilidade 102
 4.2.5. Invariância no tempo 103
 4.2.6. Linearidade 105
4.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 108
4.4 RESPOSTA PARA SINAIS ARBITRÁRIOS 111
4.5 RESPOSTA IMPULSIVA E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 113
SINAIS E SISTEMAS 
RTH/CK iii
 4.5.1 Associação de SLITs 118
 4.5.2 Resposta impulsiva, estabilidade e causalidade 119
4.6 TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO 120
 4.6.1 Distorção linear e não-linear 121
 4.6.2 Equalização 121
4.7 FILTROS IDEAIS 123
4.8 TRANSFORMADA DE HILBERT 125
4.9 EXERCÍCIOS 130
 
CAPÍTULO 5: AMOSTRAGEM DE SINAIS 133
5.1. AMOSTRAGEM DE SINAIS 133
 5.1.1 Amostragem ideal 134
 5.1.2 Efeito de subamostagem sobre sinais senoidais 140
5.2 RECONSTRUÇÃO DO SINAL 141
5.3 AMOSTRAGEM POR PULSOS 142
5.4 EXERCÍCIOS 147
 
CAPÍTULO 6: CORRELAÇÃO DE SINAIS 149
6.1. DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTÊNCIA E DE ENERGIA 149
6.2. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE POTÊNCIA 150
 6.2.1. Valor médio temporal 150
 6.2.2. Produto escalar 150
 6.2.3. Função de correlação cruzada 151
 6.2.4. Função de autocorrelação 151
6.3. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE ENERGIA 153
6.4. CORRELAÇÃO ENTRE ENTRADA E SAÍDA EM SLIT 155
6.5. TEOREMA DE WIENER-KINCHINE 157
6.6. EXERCÍCIOS 158
 
BIBLIOGRAFIA 161
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 1
CAPÍTULO 1: 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 
 
No dia-a-dia, quase que constantemente nos deparamos com sinais. Um sinal 
geralmente contém informação sobre algum fenômeno ou acontecimento. Quando 
falamos ao telefone, a voz, que é um sinal acústico, é convertida em sinais elétricos 
pelo microfone. Este sinal elétrico é transmitido, por exemplo, por um sistema de 
satélites e recebido do outro lado da Terra, e convertido novamente num sinal de voz. 
Quando alguém se submete a um exame de eletrocardiograma, o resultado, que é um 
indicativo da atividade elétrica do coração, é um sinal que, analisado, mostra as 
condições cardiológicas do paciente. O índice mensal de inflação ao longo do ano 
também pode ser considerado um sinal. A energia elétrica que é distribuída para as 
residências é um sinal senoidal com determinada amplitude e frequência. 
Na Fig.1, são ilustrados alguns exemplos de sinais, a saber: a) O índice de 
aquecimento global do planeta entre os anos de 1850 e 2000; b) Um sinal típico de 
eletrocardiograma (ECG ou EKG); c) Um trecho de alguns segundos de um sinal de 
áudio. 
Nesta e em outras disciplinas do curso de graduação em engenharia elétrica 
será de interesse a manipulação desses sinais, quer analógica ou digitalmente. O tipo 
de processamento que pode ser executado depende muito do tipo do sinal [1]. Na 
análise do aquecimento global do planeta, por exemplo, objetiva-se extrair 
informações dos registros de temperatura média medidas ao longo dos anos a fim de 
detectar tendências. Então, pode-se perguntar: os dados são cíclicos ou periódicos? 
Normalmente tendem a crescer monotonicamente? Podem ser ajustados por retas ou 
polinômios? Podem ser estabelecidas previsões futuras com certo grau de confiança? 
É possível prever medidas de controle de forma a alterar a sua variação temporal de 
alguma forma? 
No caso dos gráficos de ECG pode-se perguntar: qual a forma específica do 
padrão de ECG? Como elese desvia daquilo que é conhecido como “característica 
normal”? E, para os sinais de áudio, pergunta-se, por exemplo se é possível executar o 
reconhecimento automático da voz? Como executar a conversão de áudio para texto 
num certo idioma? E quanto a tradução automática de um idioma para outro? 
Neste texto pretende-se fornecer as ferramentas básicas para que o leitor possa 
iniciar os primeiros estudos nas áreas de processamento de sinais, bem como, em 
instrumentação eletrônica, telecomunicações, dentre outras disciplinas que são 
abordadas no curso de engenharia elétrica. Neste capítulo inicia-se apresentando-se os 
sinais, cuja análise será realizada no demais capítulos, juntamente com o estudo de 
sistemas lineares invariantes no tempo. 
 
 
1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 
 
A seguir são feitas algumas considerações básicas [2] que serão utilizadas 
posteriormente na análise dos sinais de interesse deste curso: 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 2
 
 
(a) 
 
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Eletrocardiograma
tempo [s]
A
m
pl
itu
de
 [m
V
]
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
Figura 1.1 – Exemplos de sinais encontrados no dia-a-dia. a) Índice de aquecimento global do planeta. 
b) Eletrocardiograma típico. c) Sinal de áudio (uma gargalhada). 
SINAIS E SISTEMAS 
 3
1.1.1 Sinais unidimensionais e multidimensionais 
 
Os sinais citados anteriormente possuem apenas uma variável independente 
(ano, tempo, etc) e são chamados de unidimensionais. Por outro lado, uma imagem 
de vídeo é um sinal bidimensional, que indica uma função (luminosidade) com duas 
variáveis independentes de posição. Uma projeção holográfica ou um diagrama de 
irradiação de uma antena são sinais tridimensionais com três variáveis de posição. E 
assim por diante, para o caso de sinais multidimensionais. Neste texto, trabalha-se 
eminentemente com sinais unidimensionais em função do tempo. 
 
1.1.2 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto 
 
Sinais definidos para todo instante de tempo são chamados de sinais de tempo 
contínuo, porém, sinais definidos apenas em determinados instantes de tempo são 
chamados de sinais de tempo discreto. O sinal senoidal representado na Fig. 1.2a é um 
sinal de tempo contínuo, e o sinal da Fig. 1.2b é um sinal de tempo discreto, pois está 
definido apenas para os instantes de tempo 0, 1, 2, etc. Este sinal pode ser obtido a 
partir da amostragem do sinal de tempo contínuo. Um outro exemplo de sinal de 
tempo discreto é um índice de inflação mensal. Pode-se definir ainda uma classe de 
sinais que são discretos no tempo e em amplitude, i.e., podem assumir somente 
determinados valores de amplitude, que são os sinais digitais. Um exemplo está 
ilustrado na Fig. 1.2c, onde a senóide assume apenas os valores de amplitude iguais a 
–1, -0,5, 0, +0,5 e +1. 
 
0 50 100 150 200 250 300
-1
0
1
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35
-1
0
1
(b)
0 5 10 15 20 25 30 35
-1
0
1 (c)
tempo 
Figura 1.2 – Classificação de sinais. a) Sinal de tempo contínuo. b) Sinal de tempo discreto (obtido 
através de amostragem. c) Sinal digital (amplitudes –1, -0,5, 0, +0,5 e +1). 
 
Um sinal pode ser representado matematicamente por uma função de uma ou 
mais variáveis. Para um sinal de tempo contínuo, utilizaremos a variável independente 
como sendo o tempo, t, representada entre parêntesis como, por exemplo, x(t). Para 
um sinal de tempo discreto, normalmente utiliza-se a variável independente indicada 
por n ou k, entre colchetes, como x[n] ou x[k], onde n e k são números inteiros. 
 
1.1.3 Sinais determinísticos e aleatórios 
 
Sinais determinísticos são aqueles que podem ser descritos sem nenhuma 
incerteza. Este tipo de sinal pode ser reproduzido de maneira exata e repetida. Um 
sinal senoidal puro é um exemplo de um sinal determinístico, como ilustra a Fig. 1.3a. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 4
Um sinal é aleatório se não pode ser descrito com certeza antes de ocorrer. Por 
exemplo, o conjunto dos resultados obtidos quando se joga um dado não-viciado é um 
sinal aleatório. Um sinal de um exame de ECG ou EEG também é um sinal aleatório, 
pois não pode ser previsto com certeza. Portanto sinais aleatórios não podem ser 
reproduzidos de maneira exata e repetida. Um exemplo de sinal aleatório (ruído) está 
indicado na Fig. 1.3b. 
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
(a)
0 0.5 1 1.5 2
-5
0
5
tempo [s]
(b)
 
Figura 1.3 – Classificação de sinais. a) Sinal determinístico (senóide). b) Sinal aleatório (ruído). 
 
1.1.4 Sinais reais e complexos 
 
Sinais encontrados na prática são reais (i.e., têm parte imaginária nula). No 
entanto, estenderemos a análise a sinais complexos. 
 
1.1.5 Sinais limitados no tempo 
 
 Sinais limitados no tempo são sinais não periódicos e concentrados em 
intervalos de tempo com duração bem definida. Basicamente, estes sinais podem ser 
subdivididos em sinais estritamente e assintoticamente limitados no tempo. 
 
 
0
t
t1 t2
x(t)
0
t
t1 t2
x(t)
 
 (a) (b) 
0
t
t1
x(t)
0
t
t1
x(t)
 
 (c) (d) 
Figura 1.4 – Sinais limitados no tempo. a) Estritamente limitado. b) Assintoticamente limitado. 
 
Sinais estritamente limitados no tempo são aqueles que têm valores não-nulos 
somente num intervalo de tempo [t1, t2], ou seja, iniciam e terminam em instantes de 
SINAIS E SISTEMAS 
 5
tempo definidos valendo zero para t<t1 e t>t2, como os sinais mostrados nas Figs.1.4a) 
e b). Por outro lado, sinais assintoticamente limitados no tempo são aqueles onde 
x(t)0 quando t, como aquele mostrado na Fig.1.4 c). Na Fig.1.4 d) ilustra-se 
um exemplo de sinal não limitado no tempo, uma vez que x(t)  quando t+. 
 
1.1.6 Sinais limitados em amplitude 
 
Um sinal é limitado em amplitude se existe um valor M tal que | x(t) |<M para 
todo t. Os sinais mostrados nas Figs. 1.4 a) e c) são limitados em amplitude, porém 
aqueles nas Figs. 1.4 b) e d) não são limitados. 
 
1.1.7 Sinais fisicamente realizáveis 
 
 Sinais fisicamente realizáveis são sinais práticos que podem ser medidos num 
laboratório. Basicamente, estes sinais satisfazem às seguintes condições: 
 
a) São sinais limitados no tempo; 
b) São sinais limitados em amplitude; 
c) Suas componentes espectrais significativas concentram-se num intervalo de 
frequências finito; 
d) Sua forma de onda é uma função temporal contínua; 
e) Sua forma de onda assume apenas valores reais. 
 
Contudo, modelos matemáticos que violam uma ou mais dessas condições 
serão utilizadas neste texto, pela simples razão de simplificarem a análise matemática. 
 
 
1.2. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 
 
Muitas vezes é necessário considerar sinais relacionados por uma 
transformação da variável independente. Por exemplo, considere o sinal x(t) mostrado 
na Fig.1.5 como sendo um trecho de música gravada numa fita. Nos itens a seguir são 
apresentadas algumas transformações sobre x(t). 
 
 
t
x(t)
 
 
Figura 1.5 – Pequeno trecho de um sinal de música x(t). 
 
 
1.2.1 Rebatimento ou espelhamento 
 
O sinal y(t) definido a partir de x(t) como y(t) = x(-t), é interpretado como 
sendo o rebatimento (espelhamento) do sinal em torno do instante t=0, e corresponde, 
no caso do exemplo considerado, a tocar a música no sentido inverso. Esta é a 
operação de inversão no tempo e o resultado da transformação está ilustrado na 
Fig.1.6. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 6
t
y(t)=x(-t)
 
 
Figura 1.6 – Sinal y(t)=x(-t). Inversão no tempo. 
 
1.2.2 Compressão e expansão 
 
Os sinais x(2t) e x(t/2) são, respectivamente, as versões comprimida e 
expandida de x(t), e correspondem a tocar a música no dobro da velocidade normal, 
no caso de x(2t), e na metade da velocidade normal, no caso de x(t/2).Ambos os 
casos estão ilustrados na Fig.1.7. 
 
t
x(2t)
t
x(t/2)
(a) (b) 
 
Figura 1.7 – Transformações de compressão e expansão. (a) Sinal x(2t): compressão. 
(b) Sinal x(t/2): expansão. 
 
1.2.3 Deslocamento no tempo 
 
Frequentemente é necessário se trabalhar com sinais deslocados no tempo. O 
sinal x(t-) desloca x(t) de  segundos para a direita, ou atrasa x(t) por  segundos. 
Similarmente, x(t+) desloca x(t) de  segundos para a esquerda, ou avança x(t) por  
segundos. Isto pode ser verificado facilmente através do valor da função para 
determinados instantes de tempo. Considere-se o sinal x(t) mostrado na Fig.1.8. Por 
exemplo, para t=1, x(t-1)=x(0)=1 e x(t+1)=x(2)=1; para t=3, x(t-1)=x(2)=1 e 
x(t+1)=x(4)=0, e assim por diante. Um sinal numa fita cassete pode, por exemplo, ser 
avançado ou atrasado em relação a uma referência t=0. 
 
 -2 -1 1 2 3 4 t
x(t)
1
 -2 -1 1 2 3 4 t
x(t-1)
1
-2 -1 1 2 3 4 t 
x(t+1)
1
(a) (b) (c) 
 
Figura 1.8 – Transformações de deslocamento no tempo. (a) Sinal x(t) original. (b) Sinal atrasado 
de 1 s. c) Sinal adiantado de 1 unidade de tempo 
 
As operações de inversão no tempo e deslocamento podem ser combinadas 
para obter outros sinais. Seja x(t) considerado na Fig.1.8, e as operações ilustradas na 
Fig.1.9. O sinal x(-t) é o sinal x(t) rebatido em relação ao ponto t=0. O sinal x(-t-), 
>0, desloca x(-t) para a esquerda por  segundos. Observe que x(t-) é obtido 
deslocando-se x(t) para a direita. escrevendo x(-t-)=x(-(t+)), então x(-t-) pode ser 
obtido através do rebatimento de x(t+) em torno de t=-. Analogamente, x(-t+) é 
SINAIS E SISTEMAS 
 7
obtido a partir do deslocamento de x(-t) para a direita por  segundos, ou através do 
rebatimento de x(t-) em torno de t=. 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 t
x(-t-1)
1
(b)
-4 -3 -2 -1 1 2 t
x(-t)
1
(a)
-4 -3 -2 -1 1 2 
x(-t+1)
1
(c) 
Figura 1.9 – Operações de inversão e deslocamento no tempo. 
 
1.2.4 Relações de simetria 
 
Um sinal é considerado par se é simétrico em relação à origem, i.e., x(t)=x(-t), 
tal qual o ilustrado na Fig.1.10 a). Um sinal é ímpar se é anti-simétrico em relação à 
origem: x(t)=-x(-t), como o ilustrado na Fig.1.10 b). Neste último caso, deve-se 
observar que sempre x(0)=0. 
 
t
(a) (b)
t
 
Figura 1.10 – Relações de simetria. (a) Sinal par. (b) Sinal ímpar. 
 
Um fator importante é que qualquer sinal pode ser representado como a soma 
de dois sinais, um par e outro ímpar. Considere um sinal real x(t). Então os sinais: 
 
x t
x t x t
e( )
( ) ( )  
2
 (1.1a) 
 
e 
 
x t
x t x t
o( )
( ) ( )  
2
, (1.1b) 
 
são tais que: 
 
x t x t x te o( ) ( ) ( )  (1.2) 
 
onde verifica-se facilmente que xe(t) é um sinal par e xo(t) é um sinal ímpar. 
 
1.2.5 Sinais periódicos 
 
A periodicidade de sinais também é um fator importante no estudo de sinais e 
sistemas. Um sinal periódico com período T deve obedecer a condição: 
 
x t x t kT( ) ( ),  t, k inteiro . (1.3) 
 
Um sinal que não apresenta periodicidade é chamado de aperiódico. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 8
Um exemplo de um sinal periódico encontra-se ilustrado na Fig.1.11, onde 
nota-se que o sinal também é periódico com 2T, 3T,... 
 
t
......
T 2T-T
x(t)
 
Figura 1.11 - Sinal periódico com período T. 
 
1.3. SINAIS ELEMENTARES 
 
Os sinais básicos apresentados a seguir são importantes isoladamente, na 
representação de sinais mais complexos e no estudo de sistemas em geral [3], [4]. 
 
1.3.1. Sinais senoidais eternos 
 
Um sinal senoidal é representado por: 
 
x t A t( ) cos( )  0 , (1.4) 
 
onde A é a amplitude; 0 é a frequência angular, medida em radianos por segundo; 
f0=2/0 é a frequência medida em ciclos por segundo ou Hertz;  é a fase, medida 
em radianos. O sinal x(t) é periódico com período: 
 
T
f0 0 0
2 1  , (1.5) 
 
uma vez que 
 
x t T A t T A t A t x t( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( )         0 0 0 0 0 02        . (1.6) 
 
Este sinal, representado na Fig.1.12, trata-se de uma aproximação idealizada, 
denominada (independentemente do ângulo de fase) de senóide eterna em vista de 
considerar  < t < . Este modelo torna-se mais preciso para aplicações práticas, à 
medida que os tempos de observação são longos comparados com o seu período T0 = 
2/0. 
t
A
T
f0 0 0
2 1 
  0
 
Figura 1.12 – Sinal senoidal de amplitude A, fase  e período T0. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 9
1.3.2. Exponencial real 
 
A função exponencial real é definida por: 
 
x t A e A a reaisat( ) , , . (1.7) 
 
Com a=0, tem-se x(t)=A, que é uma função constante. A função exponencial real está 
ilustrada na Fig.1.13. Para valores de “a” positivos, a função x(t) é crescente com o 
tempo, e se “a” for negativo, x(t) é uma função decrescente com t. 
t
A
(a) 
t
A
(b) 
Figura 1.13 – Exponencial real. (a) Para a>0. (b) Para a<0. 
 
A taxa de crescimento ou decaimento de x(t) depende da magnitude de “a”. 
Para a<0, quando t=0, x(0)=A. Quando t=1/|a| , x(t)=Ae-1  0.37A, ou seja, a função 
cai a aproximadamente 37% do valor em t=0. Esse valor t=1/|a| é chamado de 
constante de tempo. Quanto maior a constante de tempo (menor o valor de a), mais 
tempo a função leva para crescer ou decrescer, e vice-versa. 
 
1.3.3. Exponencial complexa periódica 
 
Os sinais descritos até agora são representados por funções reais no tempo. 
Uma classe importante de sinais são as exponenciais complexas periódicas: 
 
x t e realj t( ) ,  0 0 . (1.8) 
 
 
Utilizando a fórmula de Euler: 
 
x t e t jsin t jj t( ) cos ,      0 0 0 1. (1.9) 
 
Assim, aplicando-se a propriedade (1.9) quando t = 0), ocorre x(t)= 
ejcos(+j.sen(jOutros valores importantes da exponencial complexa 
estão listados na Tab.1.1 
 
Nota-se que x(t) é um sinal complexo cuja parte real é cos 0t e a parte 
imaginária é sin 0t, e portanto é um sinal periódico com período T0=2/0 . Isto 
pode ser verificado com mais propriedade, observando-se que )]Tt(jexp[ 00  
)tjexp()2jexp().tjexp()]/2t(jexp[ 0000  . 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 10 
Tabela 1.1 – Alguns valores particulares da exponencial complexa. 
 
Forma Exponencial (polar) Forma retangular 
0je 1 
2/je  j 
je -1 
2/3je  -j 
2je 1 
 
 
Podemos representar x(t) em função do tempo num gráfico tridimensional, 
com eixos representando as partes real e imaginária em função do tempo, conforme 
mostrado na Fig.1.14: 
0
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
t
Re
Im
 
Figura 1.14 - Representação da exponencial complexa num gráfico tridimensional. 
 
 
No entanto, é mais comum representar o sinal complexo num plano complexo, 
parametrizado pelo tempo t, conforme a Fig.1.15: 
 
0t
 -0t Re
Im
1
ejot , 0>0
ejot , 0<0
 
 
Figura 1.15 - Representação da exponencial complexa num plano. 
 
 
Neste caso, a magnitude do fasor é sempre unitária, pois: 
  e t sin t tj t  0 2 0 2 0 1 2 1   cos ,/ (1.10) 
 
e o ângulo é dado por: 
 
 0
0
0
t
sin t
t
 atan
cos
. (1.11) 
SINAIS E SISTEMAS 
 11
No caso de 0 ser positivo, à medida que o tempo evolui, o fasor gira no 
sentido anti-horário, e quando completa uma volta, 0t=2, ou t=2/0, que é o 
período. A partir desse instante, tudo volta a se repetir, explicitando a periodicidade 
do sinal. 
No caso de 0 ser negativo, à medida que o tempo passa,o fasor gira no 
sentido horário. Como 0 é chamada de frequência angular, uma frequência negativa 
indicaria apenas um sentido de rotação diferente para o fasor que representa o sinal. 
Da fórmula de Euler (1.9), pode-se mostrar que: 
 
cos( )
( ) ( )
 
   
0
0 0
2
t
e ej t j t  
  
 (1.12) 
e 
sin t
e e
j
j t j t
( )
( ) ( )
 
   
0
0 0
2
  
  
 (1.13) 
 
E ainda, pode-se representar sinais senoidais em função de exponenciais 
complexas, aplicando-se os operadores real, Re{ . }, e imaginário, Im{ . }: 
  cos( ) Re ( )   0 0t e j t   (1.14) 
e  sin t e j t( ) Im ( )   0 0   . (1.15) 
 
 
1.3.4. Exponencial complexa - caso geral 
 
Um caso mais geral de exponencial complexa é: 
 
x t A ea t( )  , (1.16) 
 
com A e “a” complexos: A = |A| e j  , a = r + j 0. 
 
 
|A| e
rt
 , r<0
t
 
|A| e
rt
 , r>0
t
 
Figura 1.16 – Exponenciais complexas. (a) r<0. (b) r>0. 
 
Assim, fica-se com: 
 
x t A e e e A e e
A e t j A e sin t
j rt j t rt j t
rt rt
( ) | | | |
| | cos( ) | | ( )
( )  
   
   
   
0 0
0 0
, (1.17) 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 12 
onde nota-se que, se r<0, as partes real e imaginária de x(t) são senóides amortecidas, 
ou que têm amplitudes crescentes, caso r>0. Na Fig.1.16 ilustram-se essas 
observações. 
Nota-se pelas figuras que |A|ert é a magnitude da exponencial complexa, e é 
chamada de envoltória. Este tipo de sinal aparece na análise de circuitos RLC e da 
suspensão de automóveis, por exemplo. 
 
1.3.5. Função sinc 
 
A função sinc é definida por: 
 
x t sinc t
sin t
t
( ) ( )
( )   , (1.18) 
 
sendo o seu gráfico mostrado na Fig.1.17. 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
Figura 1.17 – Função sinc(t). 
 
 Uma atenção especial deve ser dada ao cálculo de sinc(t) em t=0, o qual deve 
ser executado com o auxílio da regra de L’Hospital, obtendo-se sinc(0)=1 (o leitor 
deve verificar isto !). 
 
1.3.6. Função pulso triangular 
 
 O pulso triangular de amplitude unitária e largura  , conforme desenhado na 
Fig.1.18, é definido através de 
 





2/t,0
2/t,t21)/t(tri . (1.19) 
 
tri(t)
t0
1
 
 
Figura 1.18 – Função pulso triangular. 
SINAIS E SISTEMAS 
 13
1.3.7. Função pulso Gaussiano de área unitária 
 
 O pulso Gaussiano (ou simplesmente Gaussiana) de área unitária e desvio 
padrão , conforme desenhado na Fig.1.19, é definido como 
 



 


2
2
1exp
2
1)( 
ttg . (1.20) 
 
 2
1
 2
16065,0
0 
t
g(t)
Figura 1.19 – Função pulso Gaussiano. 
 
 Quando usada em cálculos probabilísticos a Gaussiana é denominada de 
distribuição normal, sendo útil em vários problemas de engenharia, física e estatística. 
 
 
1.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 
 
 Algumas funções que exibem transições abruptas no tempo serão discutidas 
nesta seção. Na prática, essas funções rigorosamente nunca ocorrem, pois os tempos 
entre transições sempre são finitos, porém, são extremamente importantes sob o ponto 
de vista de modelo matemático. 
 
1.4.1 Função degrau unitário 
 
A função degrau unitário é definida por: 
 
u t tt( )
,
, 

0 0
1 0 (1.21) 
 
sendo seu gráfico mostrado na Fig.1.20. Nota-se que u(t) é descontínuo em t=0. 
 
u(t)
1
t 
 
Figura 1.20 – Função degrau unitário. 
 
 A função degrau frequentemente é usada quando operações de chaveamento 
sobre fontes DC estão envolvidas. Além disso, várias outras funções singulares podem 
ser dela deduzidas a partir de operações como integrações e derivações sucessivas. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 14 
Finalmente, é muito útil na representação de sinais práticos, que existem apenas para 
t0. 
 
1.4.2. Função sinal 
 
A função sinal fornece o sinal do argumento t, ou seja: 
 







0t,1
0t,0
0t,1
)tsgn( (1.22) 
 
sendo seu gráfico mostrado na Fig.1.21. 
 
-1
1
t
sgn(t)
 
 
Figura 1.21 – Função sinal. 
 
Conforme se observa, as funções degrau e sinal podem ser relacionadas por 
 
1)t(u.2)tsgn(  . (1.23) 
 
1.4.3. Função porta ou pulso retangular 
 
A função porta (ou pulso) de duração T e amplitude unitária é representada 
por: 
 





T
t
T
ttx rect)( (1.24) 
 
e encontra-se desenhada na Fig.1.22. A representação como rect(t/T) ou (t/T) 
depende muito da referência bibliográfica utilizada. 
 
T/2-T/2
1
t
rect(t/T)
 
Figura 1.22 – Função porta de duração T. 
 
 A função porta pode ser relacionada com a função degrau através de: 
 
)
2
Tt(u)
2
Tt(u)T/t(rect  . (1.25) 
SINAIS E SISTEMAS 
 15
1.4.4. Função impulso de Dirac 
 
Outro sinal de extrema importância é a função impulso de área unitária ou 
delta de Dirac, (t), relacionada com o degrau unitário por: 
 
( ) ( )t d u t
dt
 (1.26) 
 
e portanto, 
 
u t d
t
( ) ( )

    . (1.27) 
 
No entanto, como u(t) é descontínua em t=0, formalmente não é diferenciável 
nesse ponto. Vamos interpretar a função degrau unitário como uma aproximação da 
função u(t), tal qual definida na Fig.1.23, para 0: 
 
u(t)
1
t 
Figura 1.23 – Função u(t). 
 
A função (t) corresponde à derivada de u(t), e é mostrada na Fig.1.24: 
 
(t)
1/
t 
Figura 1.24 – Função (t). 
 
onde nota-se que (t) tem área unitária, e é zero fora do intervalo 0  t  . À medida 
que 0, (t) fica mais estreito e com maior amplitude, mas a área continua igual a 
1. Assim, no limite: 
 
 ( ) lim ( )t t  0 (1.28) 
 
e a representação gráfica da função impulso de área unitária é dada na Fig.1.25: 
 
t
(t)
1
 
Figura 1.25 – Impulso de área unitária. 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 16 
Isto sugere que (t)=0 para todo t, exceto para t=0, onde exibe uma singularidade. O 
número 1 ao lado do impulso indica a área sob a função. Inclusive é mais correto se 
dizer que (t) é um impulso de área unitária. 
 
Exemplo 1.1: 
Representar graficamente a função v(t)=A.(t-T). 
 
Solução: Trata-se de um impulso de valor A, cuja representação é mostrada na 
Fig.1.26. 
A
T
t
v(t)
0
Figura 1.26 – Impulso de valor A aplicado no instante T. 
 
Ressalta-se, novamente, que a frase “de valor A” não se refere à amplitude do 
impulso, que é infinita, mas à sua área e à amplitude do degrau cuja derivada ele 
representa. 
 
 
Uma propriedade importante da função impulso é a seguinte: considere x(t) 
uma função contínua em t=0, então a integral 
 
x t t dt x( ) ( ) ( ) 

 0 . (1.29) 
 
A prova é dada a seguir. Seja 
 
I x t t dt x t t dt x t dt  




   ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( )   

0 0 0
1
. 
 
Utilizando o teorema do valor médio: 
 
x t dt x c b a c a b
a
b
( ) ( ).( ) , ( , )   . 
 
Logo, 
 
),0(x
),0(,)(xlim)0()(x1limI
00

   
 
pois como x(t) é contínua em t=0, x(0-)=x(0)=x(0+). Portanto, 
 
x t t dt x( ) ( ) ( ) 

 0 . 
SINAIS E SISTEMAS 
 17
Em particular, se x(t)=1, obtém-se o importante resultado 
 
( )t dt

  1 (1.30) 
 
ou seja, (t) é uma função de área unitária. 
 
Num caso maisgeral, para um impulso em t=, 
 
x t t dt x( ) ( ) ( )   

 . (1.31) 
 
ou seja, a função x(t)(t-) tem área x(), área esta que é igual ao valor da função x(t) 
no instante t=. Isto é equivalente a se ter um impulso de área x(). Portanto pode-se 
escrever também: 
 
x t t x t( ) ( ) ( ) ( )       (1.32) 
 
A equação (1.31) corresponde à propriedade de amostragem do impulso, ou seja, 
quando se multiplica uma função x(t) por um impulso de área unitária num instante 
t=, a área sob a função resultante equivale ao valor da função x(t) no instante t=. 
 
 Uma propriedade adicional do impulso refere-se à mudança de escala: 
 
0),t(1)t(  , (1.33) 
 
o qual pode ser demonstrado integrando-se ambos os lados em - < t <. Se  = -1, 
então, (-t)=(t), evidenciando que o impulso tem simetria par. 
 
 
1.4.5 Sobre a existência do impulso 
 
 O impulso unitário prova ser muito útil e, às vezes, essencial, na análise de 
sinais e sistemas. O impulso não é uma função no sentido matemático estrito [5]. Ao 
contrário, a integral definida de uma função que é nula em todos os pontos, exceto 
um, deveria ter um valor nulo. Por outro lado, x(t) será uma função de “t” se, e 
somente se, ela puder ser completamente descrita por uma relação ponto-a-ponto, ou 
seja, atribuindo-se a “x” um valor único para cada valor de “t” dentro da faixa de 
interesse. Assim, por exemplo, uma afirmativa de que x(t) é zero para t0, e não 
existe em t=0, até que definiria uma função satisfatória em todos os pontos. Embora 
algumas equações, inclusive integrais, possam ser usadas para definir indiretamente 
uma função, elas não podem conter informação que não possa ser deduzida da 
descrição direta, ponto-a-ponto da função. A afirmativa de que (t) tem área igual à 
unidade é portanto inadmissível sob o ponto de vista da matemática convencional. 
 Observe também que as equações (1.26) e (1.27) resultam de 
dt/)t(du)t(   e     d.)()t(u t devido a que as funções u(t) e (t) se 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 18 
tornam u(t) e (t), respectivamente, quando  se aproxima de zero. Esta hipótese é 
correta, entretanto, somente se 
  )t(ulim
dt
d
dt
)t(dulim
00 

 

 
 
e 
 
      t 0t0 d)].(lim[d).(lim . 
 
 Como as definições de diferenciação e integração envolvem um processo 
limite, o que foi feito, de fato, foi trocar a ordem de dois processos limites, o que nem 
sempre é justificável. 
 Uma maneira de justificar rigorosamente os resultados dessa seção pode ser 
executada recorrendo-se à teoria das distribuições, a qual considera o impulso unitário 
como função generalizada ou distribuição, o que inclui as funções ordinárias da 
matemática convencional como casos particulares. Entretanto, isto está fora do escopo 
deste texto. 
 
 
1.4.6 Impulsos no limite 
 
 Embora um impulso não exista fisicamente, várias funções convencionais 
possuem as propriedades de (t) no limite, quando algum parâmetro  tende a zero. 
Em particular, se a função (t) for tal que 
 
)0(vdt).t().t(vlim
0


   (1.34) 
 
então, é dito que 
 
)t()t(lim
0
 . (1.35) 
 
Exemplo 1.2: 
Mostrar que (1.34) é satisfeito para (t) na forma do pulso mostrado na Fig. 1.27. 
 

-  t
(t)
0
Figura 1.27 – Impulso no limite. 
 
Solução: Pela figura verifica-se que )/t(rect1)t(  . 
Seja v(t) uma função arbitrária na origem e cuja série de McLaurin é 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 19
...t
!2
)0(vt).0(v)0(v)t(v 2  
 
Então, 
 
)0(v...
12
.
!2
)0(v
0.
)0(v
)0(vlim
...dtt
!2
)0(v
dt.t
)0(v
dt
)0(v
limdt).t().t(vlim
3
0
2/
2/
22/
2/
2/
2/00




 





 










  
 
o que conclui a demonstração. 
 
 
Outras funções que satisfazem o critério (1.34) são listadas a seguir, cujos 
gráficos encontram-se desenhados na Fig.1.28: 
 
 
 0


t
(t)
 0 t
(t)
 
(a) (b) 
 
t
(t)
0
2/

 
 
(c) 
t
(t)
0
1/
 
(d) 
 
Figura 1.28 – Outros exemplos de impulsos no limite. a) Pulso sinc. b) Pulso gaussiano. c) Pulso 
triangular. d) Pulso exponencial. 
 
a) Pulso sinc 
 




tsinc1)t( . (1.36) 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 20 
b) Pulso Gaussiano 
 



 



2texp1)t( . (1.37) 
 
c) Pulso triangular 
 




ttri2)t( . (1.38) 
 
d) Pulso exponencial 
 





t
exp
2
1)t( . (1.39) 
 
2.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS 
 
A convolução entre dois sinais x1(t) e x2(t) é definida pela integral 
 
 

d)t(x)(x)t(x)t(x 2121 . (1.40) 
 
A integral de convolução é executada em relação à variável muda , sendo t 
considerada como constante. O resultado da convolução sempre resulta numa função 
temporal, por isso, em certos livros utiliza-se a notação simplificada x1(t)*x2(t) = 
x1*x2(t) para indicar que a função resultante x1*x2 depende de t [3]. 
 Considere as funções x1(t), x2(t) e x3(t). A partir da definição (1.40), podem ser 
demonstradas as seguintes propriedades: 
 
a) Propriedade comutativa 
 
 

d)t(x)(x)t(x*)t(x)t(x*)t(x 121221 . (1.41) 
 
b) Propriedade associativa 
 
321321 x*)x*x()x*x(*x  . (1.42) 
 
c) Propriedade distributiva 
 
)x*x()x*x()xx(*x 3121321  . (1.43) 
 
d) Derivada do produto 
 
2
12
121 x*dt
dx
dt
dx*x)x*x(
dt
d  . (1.44) 
SINAIS E SISTEMAS 
 21
 
Exemplo 1.3: 
Calcular a convolução v*w(t) para os sinais v(t) e w(t) mostrados na Fig.1.29. 
 
Solução: As funções v(t) e w(t) podem ser descritas por: 
 
)1t(u)1t(u)t(v  e )2t(u)2t(u)t(w  
 
e assim 
 
)]2t(u)2t(u)].[1(u)1(u[)t(w)(v  . 
 
-1 1
t
1v(t)
 
(a) 
 
1
t
2-2
w(t)
 
(b) 
 
1
3-3 -1
t
(t+3).u(t+3)
(t-3).u(t-3)
-(t-1).u(t-1)
-(t+1).u(t+1)
3-3 -1 1
t
3
-1
v*w(t)
2
 
(c) 
 
Figura 1.29 – Cálculo da convolução. a) Função v(t). b) Função w(t). c) Resultado da 
convolução: v*w(t) é superposição das retas desenhadas. 
 
Aplicando a definição (1.40), obtém-se 
 
.d.)2t(u).1(ud.)2t(u).1(u
d.)2t(u).1(ud.)2t(u).1(u)t(w*v











 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 22 
Como 



1,1
1,0
)1(u e 



1,1
1,0
)1(u , então 
 









d.)2t(u
d.)2t(ud.)2t(ud.)2t(u)t(w*v
1
111 
Também 



2t,1
2t,0
)2t(u e 



2t,1
2t,0
)2t(u , e então 
 
3tdd).2t(u
2t
11
   desde que t+2>-1, i.e., t >-3, 
 
3tdd).2t(u
2t
11
   desde que t-2>1, i.e., t >1, 
 
3tdd).2t(u
2t
11
  desde que t+2>1, i.e., t >-1 e 
 
3tdd).2t(u
2t
11
   desde que t-2>1, i.e., t >3. 
 
Portanto, a expressão final da convolução é 
 
)3t(u).3t()1t(u).1t()1t(u).1t()3t(u).3t()t(w*v  
 
e cujo gráfico está desenhado na Fig.1.29 c). 
 
 
 Conforme se observa pelo exemplo anterior, o gráfico da convolução v*w(t) 
tem largura final igual à soma das larguras das funções individuais v(t) e w(t). Este 
resultado também se aplica para funções v(t)e w(t) arbitrárias, indicando que a 
operação de convolução implica num alargamento temporal. Além disso, a função 
resultante torna-se mais “suave” que as funções individuais [6]. 
Embora esta operação possa ser executada analiticamente (em alguns poucos 
casos e com certa dificuldade) ou numericamente, torna-se interessante discutir o 
processo de determinação gráfica, o qual pode simplificar sensivelmente os cálculos. 
 
 
Exemplo 1.4: Convolução gráfica 
Executar a convolução dos sinais x(t) e y(t) mostrados na Fig.1.30: 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 t
2
1
x(t)
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 t
2
1
y(t)
 
Figura 1.30 – Sinais x(t) e y(t). 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 23
Solução: A convolução entre x(t) e y(t) é dada por: 
c t x t y t x y t d( ) ( ) ( ) ( ) ( )    

    , ou seja, para cada instante de tempo t, o sinal 
c(t) é a integral (área) do sinal que é obtido da multiplicação de x() por y(t-). Note 
que, como se está integrando em , deve-se realizar em y uma inversão seguida de um 
deslocamento de t. Tem-se na Fig.1.31 os sinais x() e y(-), ou seja, para t=0: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(-)
x()
t=0
 
Figura 1.31 – x() e y(-). t=0. 
 
onde se observa facilmente que a multiplicação entre as funções é igual a zero, e 
portanto c(t=0)=0. Como para t<0, y(t-) é deslocado para a esquerda, para t<0, 
também tem-se que c(t)=0. Para t>0, nota-se que a multiplicação entre x() e y(t-) 
será igual a zero (x e y não vão se sobrepor) até o instante t=1, e portanto, c(t)=0 para 
t<1. No instante t=1, tem-se a Fig.1.32: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(1-)
x()
t=1
 
Figura 1.32 – x() e y(1-). t=1. 
 
No instante t=1+t, a multiplicação entre x e y não será mais zero, conforme 
esquematizado na Fig.1.33: 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(1+t-)
x()
t=1+t
1 2 3 4 
2
1
x().y(1+t-)
t
t
(a) (b) 
Figura 1.33 – (a) x() e y(1+t-). t=1+t. (b) x(). y(1+t-). A área hachurada é igual a 
c(1+t). 
 
e a área hachurada na figura é igual ao valor de c(t=1+t), que é igual a (t)2/2. Para 
1t2, tem-se que y está sobrepondo-se a x, e, portanto: 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 24 
c t t
t
t( ) ,    1
2
0 1
2
   
 
ou, na variável t: 
 
c t
t
t( )
( )
,   1
2
1 2
2
. 
 
Para t=2+t, a ponta do triângulo começa a “sair” do quadrado, e os sinais ficam como 
na Fig.1.34: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(2+t-)
x()
t=2+t
1 2 3 4 
2
1
x().y(2+t-)
t
t
(a) (b) 
Figura 1.34 – (a) x() e y(2+t-). t=2+t. (b) x(). y(2+t-). A área hachurada é igual a 
c(2+t). 
 
e a região hachurada tem área 
1 2
2
2 2 3
     t t t, ( ) 
 
ou, c t t t( ) ,   3
2
2 3 
 
Para t=3+t, tem-se a Fig.1.35: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(3+t-)
x()
t=3+t
1 2 3 4 
2
1
x().y(3+t-)
t
t
(a) (b) 
Figura 1.35 – (a) x() e y(3+t-). t=3+t. (b) x(). y(3+t-). A área hachurada é igual a 
c(3+t). 
 
ou seja, a área hachurada começa a diminuir, com valor: 
 
( )( )
, ( )
2 1 1
2
3 2
2
3 3 4
2             t t t t t t 
 
ou c t
t t
t( ) ,   4
2
3 4
2
 
SINAIS E SISTEMAS 
 25
e para t>4, os sinais não mais se sobrepõem, e c(t)=0 para t>4. Resumindo, obtém-se: 
 
c t
t
t
t
t t
t t
t
t
( )
,
( )
,
,
,
,


  
  
  












0 1
1
2
1 2
3
2
2 3
4
2
3 4
0 4
2
2
 
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.1.36. 
 
0 1 2 3 4 5
0
0 .5
1
1 .5
t
c ( t )
 
Figura 1.36 – Sinal resultante da convolução c(t). 
 
 
A função impulso unitário, como já foi vista, apresenta a importante 
propriedade relacionada à amostragem (1.31). Uma outra propriedade importante é 
obtida considerando-se a convolução: 
 
x t t x t d( ) ( ) ( ) ( )   

     , 
 
Como já foi visto, a integral acima é igual ao valor da função x() em =t, ou seja, 
 
x t t x t d x t( ) ( ) ( ) ( ) ( )    

     (1.45) 
 
e o resultado é que a convolução de um sinal com um impulso é igual à própria 
função. Esta propriedade é denominada de replicação. 
Se o impulso estiver deslocado de t0: 
 
x t t t x t t d x t t( ) ( ) ( ) ( ) ( )       

    0 0 0 (1.46) 
 
ou seja, faz-se um deslocamento de t0 na função x(t). 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 26 
Exemplo 1.5: 
a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos definida por 
 


 
n
T )nTt()]t([rep , para n inteiro 
 
b) Esboçar o gráfico de )]t([rep*)t(v)]t(v[rep TT  , onde )/t(rect.A)t(v  , 
para <T. 
 
Solução: 
a) O gráfico de repT[(t)] encontra-se desenhado na Fig. 1.37 a) 
 
b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se 
 












n
n
n
T
)nTt(v
)nTt(*)t(v
)nTt(*)t(v)]t(v[rep
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.1.37 b). 
 
......
0 T 2T-T-2T
repT(t)
t
(a) 
......
0 T 2T-T-2T
v(t)
t
A
(b) 
 
Figura 1.37 – Trem de funções. a) Trem de impulsos. b) Trem de pulsos. 
 
 
 
1.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA 
 
Em sistemas elétricos, geralmente se trabalha com correntes e tensões. Se uma 
tensão v(t) é aplicada num resistor de 1, a corrente que passa por ele é i(t)=v(t) e a 
potência dissipada é igual a p(t)=v(t).i(t)=v2(t). Assim, a energia fornecida pelo sinal 
v(t) num intervalo de tempo [t1, t2] é: 
 
Energia = v t dt
t
t
2
1
2
( ) . 
SINAIS E SISTEMAS 
 27
 
De maneira similar, se uma corrente i(t) passa por um resistor de 1, a tensão sobre 
ele é v(t)=i(t), e a potência dissipada igual a p(t)=v(t).i(t)=i2(t). Assim, a energia 
fornecida pelo sinal i(t) num intervalo de tempo [t1, t2] é: 
 
Energia = i t dt
t
t
2
1
2
( ) . 
 
1.6.1 Sinais de energia 
 
Estendendo-se a discussão para um sinal x(t) real ou complexo, sua energia 
(Ex) no intervalo [t1, t2] é definida como: 
 
Ex = x t x t dt x t dt
t
t
t
t
( ). ( ) | ( )| 
1
2
1
2
2 (1.47) 
 
onde, se x(t) for real, x(t).x*(t)=x2(t). 
 
Um sinal é chamado de sinal de energia, se tem energia finita (E) no 
intervalo (-, ): 
 
E x t dt


   | ( )|2 . (1.48) 
 
Exemplo 1.6: 
Avaliar se o sinal v(t)= e-2|t| é um sinal de energia 
 
Solução: Valos avaliar a integral 
 
e dt e dt et t t






    2 2 40 4
0
2
2
4
1
2
| | 
 
e portanto, v(t) é um sinal de energia. 
 
Antes de prosseguir, vamos lembrar que uma função x(t) é estritamente 
limitada no tempo se tem valores não-nulos somente num intervalo de tempo [t1, t2], 
sendo nula para t<t1 e t>t2. As funções porta e pulso triangular são exemplos de 
funções estritamente limitadas no tempo. Já uma função x(t) é dita assintoticamente 
limitada no tempo se x(t)0 quando t. Esses dois tipos de funções são de 
duração finita. Como contra-exemplo, cita-se a senóide eterna que, como o próprio 
nome especifica, não tem duração finita. Por outro lado, um sinal é limitado se existe 
um valor M tal que | x(t) |<M para todo t. A função degrau, por exemplo, é limitada 
poisu(t)<M, para qualquer M>1, e para todo t. Por outro lado, o delta de Dirac e a 
função exponencial real não são limitadas. 
Assim, pode-se afirmar que se um sinal for limitado e de duração finita ele 
será um sinal de energia, pois 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 28 
| ( )| | ( )| ( )x t dt x t dt M dt M t t
t
t
t
t
2 2 2 2
2 1
1
2
1
2
      


 . 
 
A maioria dos sinais encontrados na prática são limitados e de duração finita, e 
portanto são sinais de energia. 
 
1.6.2 Sinais de potência 
 
A potência média (Pm) de um sinal x(t) num intervalo [t1, t2] é definida como 
 
P
t t
x t dtm
t
t
  12 1 21
2
| ( )| . (1.49) 
 
Um sinal é chamado de sinal de potência se a potência média definida por 
 
P
T
x t dt x t
T
T
T
  
 lim | ( )| ( )12 2 2 (1.50) 
 
for diferente de zero e finita. 
 
Definindo-se então: 
 
E x t dtT
T
T


 | ( )|2 , (1.51) 
 
observa-se que 
 
E E
T
T  lim (1.52) 
 
para sinais de energia, e 
 
P
T
E
T
T  lim
1
2
 . (1.53) 
 
para sinais de potência. Para um sinal de energia, a energia total é finita, e portanto 
P=0. 
A energia total de um sinal de potência deve ser infinita, pois senão a potência 
seria nula. Logo, um sinal pode ser um sinal de potência ou um sinal de energia, mas 
não ambos simultaneamente. No entanto, um sinal pode não ser um sinal de energia 
nem de potência. 
 
Exemplo 1.7: 
Considere o sinal v(t)=e-2t . Verificar se v(t) é um sinal de energia ou de potência. 
 
Solução: A energia do sinal é: 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 29
E e dt e dt e eT
t
T
T
t
T
T
T T    



 2 2 4 4 42 14 ( ) 
 
e para T, ET. 
 
A potência média do sinal é: 
 
P
T
E
e e
T
e
T
e
T T T T
T T
T
T
T
T
       

 lim lim lim lim
1
2 8 8
4
8
4 4 4 4
 
 
e portanto e-2t não é um sinal de energia nem de potência. 
 
Para sinais periódicos, com período T0 , o cálculo da potência média pode ser 
simplificado: 
 
P P
T
x t dt
T
x t dt
T
x t dtm
T T
T
T
T T
      
  lim | ( )| | ( )| | ( )|
/
/1
2
1 12
0
2
2
2
0
2
00
0 0
 (1.54) 
 
Se o sinal periódico x(t) for limitado, então ele é um sinal de potência. 
 
 
Exemplo 1.8: 
Considere o sinal senoidal x(t)=A cos(0t + ). Calcular sua potência média. 
 
Solução: Aplicando-se (1.53) 
 
2
A
T16
)2T2(sinA)2T2(sinA
2
Alim
4
)2T2(sin)2T2(sin
T2
T4
Alim
dt
2
)t(2cos
2
1
T2
Alimdt)t(cosA
T2
1limP
2
0
0
2
0
22
T
0
00
2
T
T
T
0
2
T
T
T
0
22
T













 




 
 
Pode ser verificado que, integrando num período, chega-se no mesmo resultado. 
 
 
 Um sinal de frequência modulada, FM, com sinal modulante senoidal de 
amplitude Am e frequência m , é representado por ]tsenAtcos[.A)t(v mmpp  
=  ]tsenAcos[.tcosA mmpp  ]tsenAsen[.tsen mmp  , onde Ap e p são as 
amplitude e frequência da portadora [3]. Este sinal envolve termos do tipo cos[cos(x)] 
e sen[sen(x)], os quais podem ser adequadamente expandidos em série de funções de 
Bessel. Devido à importância desse tipo de função, tal tópico será analisado na 
próxima seção. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 30 
1.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE 
 
Existe uma classe de funções da física matemática, denominada de funções 
especiais, que se prestam a descrever soluções para equações diferenciais específicas 
como, por exemplo, a equação diferencial de Bessel [7]. São soluções dessa equação 
as funções de Bessel de primeira espécie, de segunda espécie (ou funções de 
Neumann) e de terceira espécie (ou funções de Hankel). Outros exemplos de funções 
especiais são a função gama, a função beta, a função erro, os polinômios de Legendre, 
os polinômios de Hermite, os polinômios de Jacobi, os polinômios de Gegenbauer, 
etc. Neste texto nos limitaremos a estudar as funções de Bessel de primeira espécie, 
devido à sua importância na teoria de comunicações. 
 
 A função de Bessel de primeira espécie e ordem n pode ser definida através da 
série de potências 
 





0k
k2nk
n )1kn(!k
)2/x()1()x(J (1.55) 
 
onde (n) é a função gama. Se n for inteiro, então, (n+1)=n!, e assim, 
 



  ...)4n2)(2n2(4.2
x
)2n2(2
x1
!n2
x)x(J
42
n
n
n . (1.56) 
 
Na Fig. 1.38 são ilustradas as 4 primeiras funções de Bessel, evidenciando o 
comportamento oscilatório e decrescente à medida que o argumento x aumenta. 
 
 
 
Figura 1.38 - Funções de Bessel de primeira espécie. 
 
A partir de (1.55) pode-se mostrar que, se n for inteiro, então 
 
)x(J)1()x(J n
n
n  . (1.57) 
 
Além disso, com o auxílio de séries de potências, pode-se mostrar que a função 
geratriz para Jn(x), onde n é inteiro, é 
SINAIS E SISTEMAS 
 31




  
n
n
n
t
1t
2
x
t)x(Je . (1.58) 
 
A partir de (1.58) é possível demonstrar as seguintes relações de recorrência: 
 
a) )x(J)x(J
x
n2)x(J 1nn1n   (1.59a) 
b) )]x(J)x(J[
2
1
dx
)x(dJ
1n1n
n
  (1.59b) 
c) )x(Jx)]x(Jx[
dx
d
1n
n
n
n
 (1.59c) 
d) )x(Jx)]x(Jx[
dx
d
1n
n
n
n

  (1.59c) 
 
 
Exemplo 1.9: 
A partir da função geratriz mostrar que 
 
a) ...2cos).x(J2)x(J)senxcos( 20  
b) ...3cos).x(J2sen).x(J2)senxsen( 31  
 
Solução: Basta fazer  jet em (1.58) 
 
...}3sen)]x(J)x(J[sen)]x(J)x(J{[j
...}2cos)]x(J)x(J[)]x(J)x(J[)x(J{
]nsenjn[cos)x(Je)x(Je)]ee(x
2
1exp[
2211
22110
n
n
n
jn
n
senjxjj









 
 
 
a partir da qual mostra-se o desejado. 
 
 
 A partir desse exemplo, podem ser extraídas as importantes relações: 
 
...2cos).x(J2)x(J)senxcos( 20  (1.60a) 
...3cos).x(J2sen).x(J2)senxsen( 31  (1.60b) 


 
n
jn
n
senjx e)x(Je (1.60c) 
 
usadas com grande frequência na teoria de comunicações. 
 
Exemplo 1.10: 
Mostrar a seguinte relação integral:   0n )nsenxcos(1)x(J 
 
Solução: Vamos lembrar que 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 32 



 nm,2/ nm,0dncos.mcos0 



 nm,2/ nm,0dnsen.msen0 
 
Assim, multiplicando-se a expressão (1.60a) por cos(n) e a expressão (1.60b) por 
sen(n), e integrando-se entre 0 e , obtém-se (mostrar isto !) 
 

 ímparn,0 zeroouparn),x(Jdncos.)senxcos( n0 




ímparn),x(J
zeroouparn,0
dnsen.)senxsen(
n
0
 
 
Executando-se a soma no caso onde n é zero ou par, obtém-se 






d.)]nsenx[cos(1
d.]nsen).senxsen(ncos).senx[cos(1)x(J
0
0n
 
 
A mesma relação se mantém quando n é ímpar, ou seja, é válida para qualquer n 
inteiro. 
 
 
 Vamos observar que, para )nsenxsen()(f  , então, f(-) = - f(), ou 
seja, é uma função ímpar. Portanto, sua integral no intervalo  deve ser nula. 
Assim, utilizando-se o exemplo anterior, conclui-se que 
 
 


 de
2
1)x(J )nsenx(jn (1.61) 
 
 A seguir, apresentam-se alguns exercícios para que o leitor possa testar o 
conhecimento adquirido nestecapítulo. 
 
 
1.8 EXERCÍCIOS 
 
1.8.1 Dois sinais de tempo contínuo são mostrados na Fig.P1.8.1. Esboce 
cuidadosamente os seguintes sinais, com escalas: 
 
x(t)
t t
h(t)
2
1
-1
-1 1 2 3 1 2 3-1-2
1
 
Figura P1.8.1 
SINAIS E SISTEMAS 
 33
i) x t( ) 2 
ii) x t( )1 
iii) x t( )2 2 
iv) x t( / )2 3 
v)  x t x t u t( ) ( ) ( )  2 1 
vi)  x t t t( ) ( / ) ( / )   3 2 3 2 
vii) x t h t( ) ( ) 1 
viii) x t h t( ) ( ) 1 1 
ix) x t h t( / ) ( )2 2 4  
x) x te ( ) (parte par) 
xi) x to ( ) (parte ímpar) 
 
1.8.2 A soma de duas ou mais senóides pode ou não ser periódica dependendo da 
relação entre as frequências. Considere a soma de duas senóides com frequências f1 e 
f2 . Para a soma ser periódica, f1 e f2 devem ser comensuráveis, i.e., deve existir um 
número f0 contido um número inteiro de vezes em f1 e f2. Se f0 é esse número, então: 
 
f1=n1f0 e f2=n2f0 
 
onde n1 e n2 são inteiros, e f0 é a frequência fundamental. 
Para os sinais abaixo, determine quais são periódicos e o período, quando aplicável. 
 
a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3  
b) x t t t( ) cos(5 ) cos( )  5 15 
c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12  
d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( )  4 2 3 4 5 26   
 
1.8.3 Mostre que:  ( ) ( )2 1
2
t t 
 Sugestão: Examine a função  ( )2t 
 
1.8.4 Considere-se a função )T/t(rect.
2
1
T
t.A)t(f 

  , para A e T constantes. 
a) Esboçar o gráfico de f(t). 
b) Obter analiticamente o resultado de f(t)*repT[(t)]. 
c) Esboçar o gráfico de f(t)*repT[(t)]. Qual o nome usual dessa função ? 
 
1.8.5 Calcular o valor das seguintes integrais definidas 
 
a)   dt).1t).(t( 2 d)  21 2 dt).1t).(1t( 
b)  11 2 dt).1t).(t( e)  53 3 dt).2t4t).(1t( 
c)  53 2 dt).1t).(t( f)   dt).2t).(t1( 4 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 34 
1.8.6 Mostre que x t u t x t dt
t
( ) ( ) ( ) 

 
 
1.8.7 Executar a convolução, graficamente, das funções )t(ue.A)t(v t e 
)]Tt(u)t(u[
T
t)t(w  . 
Sugestão: Consultar o livro do Carlson [3]. 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 35
CAPÍTULO 2: 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE 
FOURIER 
 
 
 
Um dos principais objetivos de se analisar sinais é o de determinar o conteúdo 
de frequência ou a faixa de frequência de sinais. Isto é de extrema importância em 
diversos campos de aplicação. Em comunicações, sinais transmitidos por estações 
AM são limitados na faixa de 535 kHz a 1650 kHz [3], [4]. Sinais de estações FM 
ocupam a faixa de frequência entre 88 MHz a 108 MHz, as de televisão UHF ocupam 
faixas entre 470 MHz e 890 MHz, e assim por diante, para os demais tipos de 
serviços. Um sinal de voz típico ocupa uma faixa de 200 Hz a 4 kHz. Através da 
análise de sinais é possível entender como um sinal de voz ou de música é transmitido 
em outra faixa de frequência (através de modulação). 
Na área médica, por exemplo, a análise de um sinal resultante de um exame de 
eletrocardiograma (ECG) ou eletroencefalograma (EEG) pode indicar se o paciente 
possui alguma anomalia cardíaca ou na atividade elétrica cerebral. Um submarino 
emite um sinal acústico próprio dependendo da rotação dos propulsores e vibração 
dos motores. Este sinal pode ser utilizado em detecção submarina. Abelhas 
africanizadas (ou "assassinas") e domésticas são quase idênticas em tamanho e 
aparência, e uma das maneiras de diferenciá-las é com a ajuda de um microscópio. No 
entanto, descobriu-se que elas batem as asas em frequências diferentes, e, 
consequentemente, geram sinais diferentes. Estes sinais, detectados, podem ser 
utilizados para identificar as abelhas assassinas e controlar sua disseminação. Uma 
outra aplicação importante de análise de sinais é a eliminação de certos tipos de ruídos 
como o de máquinas, transformadores de potência, ventiladores industriais, etc. Estes 
tipos de equipamentos geram sinais periódicos, que podem ser decompostos em vários 
sinais. Um microfone pode captar esse ruído e um sistema computadorizado analisar 
este sinal e gerar um outro sinal que é a imagem do ruído (um anti-ruído). Isto cancela 
o ruído, não afetando a conversa normal entre as pessoas que estejam no ambiente, 
por exemplo, dentro de um avião. 
 Neste capítulo aborda-se a primeira parte da análise dos sinais de tempo 
contínuo, enfatizando-se os sinais periódicos, através da série de Fourier. No Capítulo 
3, serão analisados em detalhes os sinais aperiódicos, com o auxílio da transformada 
de Fourier. Antes, porém, pretende-se discutir alguns conceitos preliminares sobre 
espectros de linhas, produto vetorial e similaridades entre sinais variáveis no tempo. 
 
2.1 FASORES GIRANTES 
 
 Considere, inicialmente, o problema do regime permanente senoidal, tal qual 
estudado na teoria de circuitos elétricos. Nesse caso, os sinais são constituídos por 
senóides eternas e têm representação temporal como ilustrado na Fig.2.1, e conforme 
discutido na Capítulo 1. Assim, se x(t) for um sinal senoidal, então 
 
)tcos(.A)t(x 0  (2.1) 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 36
onde A é o valor de pico ou amplitude, 0 é a frequência angular e  é o ângulo de 
fase. 
A
-A
x(t)
0-/0
A cos
t
T=20
... ...
 
Figura 2.1 – Sinal senoidal eterno. 
 
A frequência angular, 0 [rad/s], relaciona-se com a frequência linear, f0 [Hertz], 
através de 0=2f0. 
 Conforme já foi enfatizado, a senóide eterna trata-se de uma aproximação 
idealizada, em vista de considerar todos os instantes de tempo ( < t < ). O 
modelo torna-se mais preciso, à medida que os tempos de observação sejam longos 
comparados com o seu período T = 2/0. 
 
2.1.1 Espectro de linhas unilateral 
 
A representação espectral do sinal senoidal pode ser obtida em termos de 
fasores girantes, deduzidos a partir do teorema de Euler: 
 
 sen.jcose j (2.2) 
 
onde  é um ângulo arbitrário. No caso da senóide eterna (2.1), percebe-se que 
 
]e.e.A[Re)t( tjj 0 . (2.3) 
 
O termo entre colchetes em (2.3) pode ser interpretado como um vetor girando no 
plano complexo, z, conforme ilustra a Fig.2.2. Assim, define-se o fasor girante 
associado a v(t) como sendo o número complexo (na forma polar) 
 
tjj 0e.e.A)t(zz  (2.4) 
 
O fasor girante tem magnitude A, gira no sentido anti-horário numa taxa de f0 ciclos 
por segundo (ou Hertz) e em t = 0 forma um ângulo  com o eixo real positivo. A 
projeção do fasor sobre o eixo real permite recuperar x(t), conforme estabelecido por 
(2.3). 
A
z
ot+
Re
Im
0
 
Figura 2.2 - Fasor girante no plano complexo z. 
SINAIS E SISTEMAS 
 37
Uma representação equivalente para o fasor complexo z(t), no domínio da 
frequência, constitui o espectro de linhas (ou raias) unilateral, mostrado na Fig.2.3. 
Este diagrama informa que na frequência de oscilação f0, o fasor girante tem 
magnitude A, representado através de uma linha no espectro de magnitudes, e fase , 
representado por uma linha no espectro de fases. 
 
MAGNITUDE
FASE
0
0
fo
fo
f
f
A

Figura 2.3 - Espectro de linhas unilateral. 
 
 A fim de padronizar a representação espectral dos sinais, torna-se adequado 
estabelecer as seguintes convenções [3]: 
 
a) A variável independente para representar o espectro é a frequência linear, f , (e 
não a frequência angular, ). Um valor particular de f é identificado por um 
subscrito como, por exemplo, f0 ; 
b) Os ângulos de fase são medidos em relação à função co-seno. Sinais em seno 
precisam ser convertidos para co-senos, através da identidade: sen = cos(-900); 
c) Considera-se que a magnitude é sempre uma grandeza positiva. Quando sinais 
negativos estão presentes,utiliza-se a identidade: -A.cos = A.cos( 1800). 
 
Exemplo 2.1: 
Esboçar o espectro unilateral do sinal 
 
 )t120sen(4)60t40cos(107)t(w 0  , 
 
cuja forma de onda está desenhada na Fig.2.4 a). 
 
Solução: O espectro de linhas unilateral de w(t) pode ser obtido observado-se que 
 
)90t602cos(4)120t202cos(10)t02cos(7)t(w 00  
 
e encontra-se desenhado na Fig. 2.4 b) 
 
20
10
0 1/20 t
w(t)
 (a) (Fig.2.4 continua ...) 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 38
MAGNITUDE
FASE
0
0
100
20
f
f
120
20
100
o
-90o
7
10
4
(b) 
Figura 2.4 - Análise espectral de w(t). a) Sinal temporal w(t). b) Espectro de w(t). 
 
 
 O exemplo anterior é muito ilustrativo pois evidencia que uma superposição de 
senóides com diferentes frequências e fases pode dar origem a uma forma de onda 
não- senoidal, embora ainda periódica. Assim, pode-se indagar se uma outra forma de 
onda arbitrária (porém periódica) como uma dente-de-serra, por exemplo, poderia ser 
sintetizada a partir da superposição de senóides. Nas próximas seções esta conjectura 
será confirmada, através do estudo da série de Fourier. 
 
2.1.2 Espectro de linhas bilateral 
 
As representações espectrais unilaterais podem não ser tão interessantes e 
genéricas quanto a representação denominada espectro bilateral, que envolve 
frequências positivas e negativas. Nesse caso, recorre-se à propriedade dos números 
complexos *)zz(
2
1]zRe[  , onde z é uma grandeza complexa e z* é o seu 
complexo conjugado. Assim, a partir de (2.3) e (2.4), para tjj e.e.Az  , obtém-se 
 
tjjtjj
0
00 ee
2
Aee
2
A)tcos(.A)t(x   (2.5) 
 
onde 0=2f0. O par de fasores conjugados em (2.5) encontra-se desenhado, no plano 
complexo, conforme a Fig.2.5 
z
ot+
Re
Im
0 ot+
z*
A
A
 
Figura 2.5 - Fasores girantes conjugados. 
 
 Por sua vez, o espectro de linhas bilateral, encontra-se registrado na Fig.2.6, a 
qual inclui informações sobre ambos os fasores: o fasor normal, associado à 
frequência positiva (+f0), e o fasor conjugado, correspondente à frequência negativa 
(f0), a fim de especificar a direção de rotação negativa (no sentido horário). 
SINAIS E SISTEMAS 
 39
MAGNITUDE
FASE
0
0
A/2A/2


f
f
 
 
Figura 2.6 - Espectro de linhas bilateral. 
 
Conforme se observa, o espectro de magnitudes possui simetria par, enquanto 
o espectro de fases tem simetria ímpar. 
 
Exemplo 2.2: 
Esboçar o espectro bilateral do sinal w(t) estudado no exemplo 2.1. 
 
Solução: O sinal w(t) pode ser rescrito como 
 
2
eeee4
2
eeee10e7)t(w
t602j90jt602j90jt402j120jt402j120j
0j
0000   
 
e portanto, obtém-se o espectro mostrado na Fig.2.7. 
 
MAGNITUDE
FASE
0
0
7
f
f
55
22
20 60- 60 - 20
120
- 120
o
o - 90
90
o
o
Figura 2.7 - Espectro bilateral de w(t). 
 
 
2.2. PRODUTO ESCALAR – SEMELHANÇA ENTRE SINAIS 
 
 Didaticamente, a analogia com o comportamento de vetores no espaço físico 
pode ser bastante útil na análise de sinais variáveis no tempo. Assim, considere os 
dois vetores 1V

 e 2V

 mostrados na Fig.2.8, e seja eV

 um vetor de erro, tal que 
 
e2121 VVCV
  (2.6) 
 
onde C12 é uma constante com valor entre 0 e 1. 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 40
1V

2V

eV

C12 2V

 
(a) 
1V

2V

eV

C12 2V

 
(b) 
1V

2V

eV

C12 2V

 
(c) 
 
Figura 2.8 - Análise da “semelhança” entre vetores. A magnitude do vetor erro em b) é menor que nos 
casos a) e c). 
 
 
 Por inspeção da figura, torna-se evidente que o menor valor do vetor de erro 
ocorre no caso b), quando C12 2V

 corresponde à projeção ortogonal de 1V

 na direção 
de 2V

. Nesse caso, costuma-se dizer que C12 2V

 corresponde à componente de 1V

 na 
direção de 2V

, onde C12 é escolhido de modo que o vetor de erro seja mínimo. 
 Uma outra conclusão pode ser extraída, em situações de projeção ortogonal 
como no caso da Fig.2.8b), observando-se que quanto maior a componente de um 
vetor na direção do outro, mais “semelhante” serão esses vetores e menor será o vetor 
de erro [4]. Então, C12 pode ser interpretado como uma medida da “semelhança” entre 
1V

 e 2V

. Se C12=0, então, 1V

 não tem componente na direção de 2V

, sendo os 
vetores perpendiculares entre si e denominados vetores ortogonais. Neste caso, não 
existe qualquer relação de dependência entre os vetores, os quais são chamados de 
vetores independentes. 
 Recorrendo-se a álgebra vetorial, pode-se especificar o fator constante C12 
aplicando-se a definição de produto escalar: 
 
2
21
212
V
VV
VC 
  (2.7) 
 
onde 2V

 é o módulo de 2V

. A partir daí, obtém-se 
 
22
21
2
2
21
12 VV
VV
V
VVC 




  (2.8) 
 
Observa-se que, se 1V

 e 2V

 são ortogonais, então, 0VV 21 

 e C12=0. A seguir, 
extrapola-se esses conceitos para o caso de sinais. 
 
 Considere-se f1(t) e f2(t) dois sinais sobre os quais deseja-se estabelecer o grau 
de similaridade (ou semelhança) através de um fator C12, ou seja, deseja-se 
estabelecer a aproximação f1(t)  C12.f2(t). Para isso, C12 deve ser tal que minimize a 
função erro fe(t), 
 
)t(fC)t(f)t(f 2121e  (2.9) 
 
 Um critério bastante usado para minimizar fe(t) constitui na minimização do 
erro quadrático médio, , ou seja, na minimização de 
SINAIS E SISTEMAS 
 41
 21
t
t
2
e
12
dt).t(f
tt
1 (2.10) 
 
onde (t2-t1) é um intervalo de observação dentro do qual deseja-se efetuar a 
comparação dos sinais. Assim, torna-se necessário estabelecer o valor de C12 que 
satisfaça a condição: 
 
0
dC
d
12
 (2.11) 
 
ou, substituindo (2.10), que satisfaça a 
 
0dt).t(fC2dt).t(f)t(f2dt.
dC
)t(df
tt
1 2
1
2
1
2
1
t
t
2
2
t
t 1221
t
t
12
2
1
12


   (2.12) 
 
 Como f1(t) não depende de C12, a primeira integral em (2.12) é nula e, 
portanto, obtém-se que 
 


2
1
2
1
t
t
2
2
t
t 21
12
dt)t(f
dt)t(f).t(f
C (2.13) 
 
Ressalta-se a semelhança entre a expressão (2.13), para sinais, e (2.8), para 
vetores. Assim, por analogia com vetores, C12f2(t) representa a componente de f1(t) 
sobre o sinal f2(t). Além disso, define-se o produto escalar entre as funções, 
)t(f).t(f 21 , num intervalo (t1,t2) por 
 
 21
t
t 21
12
21 dt).t(f).t(ftt
1)t(f).t(f , t1  t  t2 (2.14) 
 
de tal forma que (2.13) pode ser escrita como 
 
)t(f
)t(f).t(f
C
2
2
21
12  (2.15) 
 
 Se C12=0, então, é dito que o sinal f1(t) não contém nenhuma componente do 
sinal f2(t), e, que as duas funções são ortogonais no intervalo (t1, t2). 
 
 
Exemplo 2.3: 
Mostrar que )tnsen()t(f 01  e )tmsen()t(f 02  são ortogonais em qualquer 
intervalo (t0, t0+20), para valores de m e n inteiros, mn. 
 
Solução: Deve ser mostrado que 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 42
   000
/2t
t 00
0
21 dt).tmsen().tnsen(/2
1)t(f).t(fI 
 
é igual a zero. De fato, desenvolvendo 
 
00
o
00
0
/2t
t
00
/2t
t 00
0
t)mnsen(
mn
1t)mnsen(
mn
1
2
1
dt].t)mncos(t)mn[cos(
2
1
/2
1I




 
 
 
 
 Uma vez que n e m são inteiros, (n-m) e (n+m) também o são, e assim, I=0 
(incentiva-se o leitor a comprovaristo !). 
 
 
O resultado do exemplo anterior evidencia que )tnsen( 0 e )tmsen( 0 são 
funções ortogonais. Pode-se demonstrar que )tncos( 0 e )tmcos( 0 , bem como 
)tnsen( 0 e )tmcos( 0 , também são funções ortogonais. 
 
Exemplo 2.4: 
Aproximar a função retangular 







 2/3trect2/trect)t(f1 pela função 
tsen)t(f 2  , no intervalo (0,2), de forma que o erro quadrático médio seja mínimo. 
 
Solução: Deseja-se aproximar )t(fC)t(f 2121  , tal que C12 conduza ao erro mínimo. 
O gráfico de f1(t) está desenhado na Fig. 2.9 (em linha pontilhada). 
 
f(t)
t 




 
Figura 2.9 - Aproximação da função retangular por uma senóide. 
 
Assim, aplicando-se (2.13), obtém-se 
 

 





4
dt).t(sen
dt.tsen)1(dt.tsen
C 2
0
2
2
0
12 
 
e, portanto, 
 
tsen4)t(f1  , 0t2
SINAIS E SISTEMAS 
 43
representa a melhor aproximação de f1(t) por uma função sen t. O desenho de f1(t) 
também encontra-se na Fig.2.9. Por outro lado, diz-se que a função f1(t) tem uma 
componente da função sen t cuja magnitude é 4/. 
 
 
2.3 SÉRIE DE FUNÇÕES 
 
Discute-se nesta seção, a expansão de trechos de funções em séries de funções 
ortogonais como, por exemplo, a série de Fourier trigonométrica. Antes, porém, o 
conceito de ortogonalidade de funções deve ser detalhado. 
 
2.3.1 Ortogonalidade de funções reais 
 
Considere-se, novamente, o caso dos vetores num plano xy, e cujos vetores 
unitários são xaˆ e yaˆ , conforme esquematizado na Fig.2.10. 
 
F

xaˆ
yaˆ
x
y
x0
y0
0
 
Figura 2.10 - Vetores no plano xy. 
 
 Um vetor F

, com componentes x0 e y0 nas direções x e y, respectivamente, 
pode ser expresso como 
 
y0x0 aˆyaˆxF 

 (2.16) 
 
Qualquer vetor nesse plano pode ser expresso em termos de xaˆ e yaˆ , vetores 
unitários que satisfazem a 
 




nm,1
nm,0
aˆaˆ nm (2.17) 
 
onde m e n correspondem a x e y, respectivamente. Assim, os vetores unitários são 
ortogonais entre si. 
 Contudo, observa-se que este sistema de coordenadas bidimensional é 
inadequado para expressar um vetor F

 espacial, sendo necessário haver três eixos de 
coordenadas. Portanto, para expressar um vetor F

 tridimensional é necessário que o 
sistema de coordenadas seja completo. O eixo adicional é o eixo z, cujo vetor unitário 
é zaˆ . E assim, um vetor no espaço tridimensional será representado por 
 
z0y0x0 aˆzaˆyaˆxF 

 (2.18) 
 
onde xaˆ , yaˆ e zaˆ são ortogonais entre si. 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 44
 No caso geral, hipoteticamente n-dimensional, o conjunto completo de vetores 
unitários deve possuir “n” componentes ortogonais designadas por 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ , e 
assim, um vetor geral F

 tem componentes C1 , C2, ..., Cn, tais que 
 
nn2211 xˆC...xˆCxˆCF 

 (2.19) 
 
 A condição de ortogonalidade implica que 
 




nm,1
nm,0
xˆxˆ nm (2.20) 
 
O conjunto ( 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ ) constitui um espaço vetorial ortogonal, onde 1xˆ , 2xˆ , ..., 
nxˆ são vetores de base. Em geral, contudo, o produto nm xˆxˆ  pode ser qualquer 
constante km ao invés da unidade: 
 




nm,k
nm,0
xˆxˆ
m
nm (2.21) 
 
Quando km é igual à unidade o conjunto é chamado espaço ortogonal normalizado, ou 
então, é dito tratar-se de um conjunto ortogonal normalizado ou espaço vetorial 
ortonormal. 
 Os valores dos componentes, Cr , podem ser obtidos a partir de (2.19), 
calculando-se inicialmente o produto escalar 
 
...xˆxˆC...xˆxˆCxˆxˆCxˆF rrrr22r11r  

 (2.22) 
 
e aplicando-se (2.21), a fim de obter 
 
rrr kCxˆF 

 (2.23) 
 
e portanto 
 
r
r
rr
r
r k
xˆF
xˆxˆ
xˆFC 

 

 (2.24) 
 
 A seguir, extrapola-se esses conceitos para o caso de sinais. Considere-se, 
então, um conjunto de “n” funções g1(t), g2(t), ..., gn(t) ortogonais entre si, num 
intervalo t1 a t2, ou seja 
 



 kj,k kj,0dt).t(g).t(g j
t
t kj
2
1
 (2.25) 
 
Uma função arbitrária f(t) pode ser aproximada (sintetizada) num intervalo (t1, t2) pela 
combinação linear dessa n funções ortogonais: 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 45
21
n
1r
rr
nn2211
ttt,)t(gC
)t(gC...)t(gC)t(gC)t(f




 (2.26) 
 
A melhor aproximação corresponde àquela onde C1, C2, ..., Cn são tais que 
minimizam o erro quadrático médio de fe(t), tal qual em (2.10), o qual será repetido 
por conveniência: 
 
 21
t
t
2
e
12
dt).t(f
tt
1 (2.27) 
 
onde 
 



n
1r
rre )t(gC)t(f)t(f (2.28) 
 
Para isto, torna-se necessário impor que 
 
0
C
...
C
...
CC nr21




 . (2.29) 
 
Procedendo aos cálculos algébricos em (2.29), pode-se mostrar que o erro 
mínimo acontecerá quando 
 

  2
12
1
2
1
t
t r
r
t
t
2
r
t
t r
r dt).t(g).t(fk
1
dt).t(g
dt).t(g).t(f
C (2.30) 
 
(encoraja-se o leitor a verificar isto). 
Novamente, é interessante comparar essa expressão com (2.24), e concluir que 
 
r
r
rr
r
r k
)t(g).t(f
)t(g).t(g
)t(g).t(f
C  , t1 t t2 (2.31) 
 
usando-se a definição de produto escalar (2.14). Utilizando-se (2.27), (2.28) e (2.31), 
o erro quadrático médio será 
 


       
n
1r
t
t
n
1r
t
t rr
2
r
2
r
t
t
2
12
2
1
2
1
2
1
dt).t(g).t(fC2dt).t(gCdt).t(f
tt
1 
 


 


 




n
1r
r
2
r
t
t
2
12
n
1r
r
2
r
2
r
n
1r
2
r
t
t
2
12
kCdt).t(f
tt
1
kC2kCdt).t(f
tt
1
2
1
2
1
 (2.32) 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 46
 Torna-se evidente que o erro quadrático médio diminui à medida que aumenta-
se n, ou seja, quando f(t) é aproximada por um número maior de funções ortogonais. 
No limite, quando n, o erro tende a zero e f(t) converge para a soma infinita: 
 



1r
rr )t(gC)t(f , t1 t t2 (2.33) 
 
desde que {gr(t)} constitua um conjunto de funções ortogonais (obedecem a (2.25)) no 
intervalo (t1, t2) e os coeficientes Cr obedecem a (2.30) ou (2.31). 
 
 
Exemplo 2.5: 
Considere-se novamente a função retangular f1(t) estudada no exemplo 2.4, que foi 
aproximada por uma única função sen(t). Discutir como a aproximação melhora 
quando se usa um número grande de funções ortogonais tnsen 0 e tmsen 0 , para 
m e n inteiros. 
 
Solução: A função retangular f1(t) será aproximada por 
 
ntsenC...t2senCtsenC)t(f n211  , 0 t 2
 
onde 
 


 

 


 



0
2
2
0
2
2
0 1
r
dt.rtsendt.rtsen1
dt.rtsen
dt.rtsen).t(f
C
 
 
e daí 
 




parr,0
ímparr,
r
4
Cr 
 
Portanto, 
 
...]t5sen
5
1t2sen
3
1t[sen4)t(f1  , 0 t 2
 
conforme mostrado na Fig.2.11, considerando-se um, dois, três e quatro termos. 
O erro nessa aproximação é dado por (2.32): 
 


   21
t
t 2
2
21
2
1
2
1
12
...kCkCdt).t(f
tt
1
 
 
onde t2-t1=2 e   20 21 2dt).t(f . Também,   20 21r dt).t(fk   20 2 dt).t(rtsen =. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 47
t 




)t(sen
4

 
(a)t 


)t3sen
3
1t(sen
4

 
(b) 
 
t 


)t5sen
5
1t3sen
3
1t(sen
4

 
(c) 
 
t 


)t7sen
7
1t5sen
5
1t3sen
3
1t(sen
4

 
(d) 
 
Figura 2.11 - Aproximação da função retangular por série de senos. 
 
 Com isso, 
 
19,042
2
1 2
1 


 


 
1,0
3
442
2
1 22
2 


 





 
0675,0
5
4
3
442
2
1 222
3 


 








 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 48
051,0
7
4
5
4
3
442
2
1 2222
4 


 











 
 
evidenciando que, à medida que o número de termos aumenta, o erro diminui e a série 
se aproxima da função. 
 
 
 
2.3.2 Ortogonalidade de funções complexas 
 
 Nas discussões anteriores, considerou-se apenas funções reais de variáveis 
reais. Se f1(t) e f2(t) são funções complexas da variável t, pode-se mostrar que f1(t) 
ainda pode ser representada por C12. f2(t) no intervalo (t1, t2): 
 
)t(f.C)t(f 2121  (2.34) 
 
porém, o valor ótimo de C12 que minimiza a magnitude do erro quadrático médio é 
 


2
1
2
1
t
t
*
22
t
t
*
21
12
dt).t(f).t(f
dt).t(f).t(f
C (2.35) 
 
onde * indica complexo conjugado. Por outro lado, mostra-se que f(t) pode ser 
expressa como 
 
.....)t(gC...)t(gC)t(gC)t(f rr2211  (2.36) 
 
em termos de um conjunto {gr(t)} de funções ortogonais, isto é 
 



 nm,k nm,0dt).t(g).t(g n
t
t
*
nm
2
1
 (2.37) 
 
desde que 
 
 2
1
t
t
*
r
r
r dt).t(g).t(fk
1C (2.38) 
 
a fim de minimizar a magnitude do erro quadrático médio. 
 Constituem exemplos de funções ortogonais as funções trigonométricas (como 
visto em exemplos anteriores), as exponenciais complexas, os polinômios de 
Legendre, os polinômios de Jacobi, as funções de Bessel, etc [4]. 
 
Exemplo 2.6: 
Mostrar que as exponenciais complexas ,e)t( tjnn 0
 para n = 0, 1, 2, ..., 
constituem um conjunto de funções ortogonais. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 49
Solução: Para cada valor inteiro de n, a função n(t) é uma função periódica com 
frequência angular fundamental n0 e período Tn=2/n0. Como T0=2/0, então 
T0=n Tn, e cada intervalo de duração T0 contém n ciclos completos de e jn t0 . 
 
A integral 
 
e dt n t jsin n t dt
T n
n
jn t
t
t T
t
t T
  0
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
 
    (cos )
,
,
 
 
pois para n=0, e jn t0 1 e a integral equivale ao período de integração T0. Com n 
diferente de zero, o intervalo de integração possui um número de ciclos completos de 
seno e coseno, cuja integral se anula. 
 
Se tomarmos o complexo conjugado da função e jn t0 , tem-se: 
               n jn t jn tt e n t jsin n t n t jsin n t e( ) (cos ) (cos )0 00 0 0 0 
 
Assim, vamos avaliar a integral: 
 
   00
0
00
/2t
t
*tjmtjn dt)e).(e(I 
 
Se n=m, resulta 
 
0
/2t
t
2dtI 00
0 
   
 
Se nm, resulta 
 
]1e[e
)mn(j
1
e
)mn(j
1I
)mn(2jt)mn(j
0
/2t
t
t)mn(j
0
0
00
0
0








 
 
Como (n-m) também é um inteiro, resulta I=0. Portanto, 
 
  m
T
n
j m n t
t
t T
t t dt e dt T m nm n( ). ( )
,
,
( )
 
 
   
0
0
0
0 0
0
0 
 
Esta é a propriedade de ortogonalidade do conjunto de exponenciais complexas n(t). 
 
 
2.3.3 Série trigonométrica de Fourier 
 
 Foi mostrado no exemplo 2.3, que tsen 0 , t2sen 0 , etc., formam um 
conjunto ortogonal em qualquer intervalo (t0, t0+20). Entretanto, esse conjunto não 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 50
é completo, pois também deveriam ser incluídas as funções co-seno. Assim, uma 
expansão mais geral seria 
 
...t2senbtsenb...t2cosatcosaa)t(f 020102010  (2.39) 
 
para t0  t  t0+20. Usando-se uma notação mais compacta, 
 
])t.nsen(b)t.ncos(a[a)t(f
1n
0n0n0 

 (2.40) 
 
para t0  t  t0+T, onde T=20. 
 Os coeficientes an e bn devem obedecer a (2.38), valendo então 
 
  Ttt0 00 dt).t(fT1a (2.41) 
 






 Tt
t 0
2
Tt
t 0
n 0
0
0
0
dt).tn(cos
dt)tncos().t(f
a (2.42) 
 






 Tt
t 0
2
Tt
t 0
n 0
0
0
0
dt).tn(sen
dt)tnsen().t(f
b (2.43) 
 
 O valor a0 corresponde ao valor médio ou componente DC de f(t) no intervalo 
(t0, t0+T). Como as integrais nos denominadores valem T/2 (verificar isto !), então 
 
   Ttt 0n 00 dt)tncos().t(fT2a (2.44) 
 
   Ttt 0n 00 dt)tnsen().t(fT2b (2.45) 
 
É possível mostrar ainda (vide exercícios) que a série trigonométrica de 
Fourier (2.40) também pode ser escrita na forma: 
 



0n
n0n )t.ncos(c)t(f (2.46) 
 
onde 
 
2
n
2
nn bac  (2.47a) 
n
n1
n a
btg  (2.47b) 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 51
 É importante ressaltar que a expansão que se apresenta é garantida somente 
dentro do intervalo (t0, t0+T0), nada sendo afirmado quanto ao comportamento da série 
fora do intervalo, a não ser no caso de funções periódicas, conforme discutido adiante. 
 
2.3.4 Série de Fourier-Legendre 
 
 Um conjunto de polinômios de Legendre {Pn(x)}, forma um conjunto 
completo de funções no intervalo (-1 t +1). Tais polinômios são [4] 
 
P0(t) = 1 (2.48a) 
P1(t) = t (2.48b) 
2
1t
2
3)t(P 22  (2.48c) 
t
2
3t
2
5)t(P 33  (2.48d) 
 
os quais obedecem à relação 
 
n2
n
n
nn )1t(dt
d
!n2
1)t(P  (2.49) 
 
 Pode ser verificado que 
 





 nm,
1m2
2
nm,0
dt).t(P).t(P
1
1 nm
 (2.50) 
 
Então, f(t) pode ser expressa em termos da série de polinômios de Legendre no 
intervalo (-1 t  +1): 
 



0n
nn1100 )t(PC...)t(PC)t(PC)t(f (2.51) 
 
onde Cn obedece a (2.38): 
 





 1
1
2
r
1
1 r1
r
dt).t(P
dt).t(P).t(f
C 
 
e finalmente 
 
 11 r1r dt).t(P).t(f2 1r2C (2.52) 
 
2.3.5 A Série exponencial de Fourier 
 
 Conforme visto no exemplo (2.6), as funções exponenciais complexas também 
formam um conjunto, }e{ tjn 0 , para (n = 0, 1, 2, ...), que é ortogonal e completo no 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 52
intervalo t0  t  t0+20. Ou seja 
 






  
mn,0
mn,T2dt)e).(e( 0
/2t
t
*tjmtjn00
0
00 (2.53) 
 
Portanto, uma função f(t) pode ser expandida como série 
 
tjn
n
n
t2j
2
tj
1
t2j
2
tj
10
0
0000
e.C
...e.Ce.C...e.Ce.CC)t(f









 (2.54) 
 
para t0 < t < t0+20, onde 
 



 
 
 


Tt
t
tjn
Tt
t
*tjntjn
Tt
t
*tjn
n
0
0
0
0
0
00
0
0
0
dte).t(f
T
1
dt.)e).(e(
dt)e).(t(f
C
 (2.55) 
 
 Antes de prosseguir, cita-se que as notações T  Ttt 00 dt{.} ou 
T
dt{.} , para 
representar uma integral ao longo de um dado intervalo detempo T serão usadas 
indistintamente, conforme a conveniência. 
 
 
2.3.6 Representação de uma função periódica pela série de Fourier 
 
 Em seções anteriores representou-se a função f(t) pela série de Fourier no 
intervalo t0 < t < t0+T. Fora desse intervalo, f(t) e a série correspondente não precisam 
ser iguais, conforme ilustra a Fig.2.12 a), onde t0=0. 
Entretanto, se uma função x(t) for periódica, conforme esquematizado na 
Fig.2.12 b), pode-se mostrar que a representação da série complexa (2.54), por 
exemplo, se aplica para todo o intervalo  < t < . Neste caso, basta observar o 
comportamento de 
 



n
tjn
n
0e.C)t(x para t0  t  t0+T (2.56) 
 
sendo x(t) periódica com período T=1/f0. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 53
T0
t
f(t)
A
 
(a) 
......
T-T 2T-2T 0
t
x(t)
A
 
(b) 
Figura 2.12 - Intervalo de validade da série de Fourier. a) Para funções aperiódicas é válida para 
0tT. b) Para funções periódicas é válida para todo t. 
 
Em primeiro lugar, lembra-se que a exponencial complexa é periódica. Assim, 
se x(t) for periódica com período T, a igualdade (2.56) se manterá em todo o intervalo 
 < t < . Então, para x(t) periódica 
 



n
tf2jn
0
0e).nf(c)t(x para  < t < . (2.57) 
 
onde 
 
   Ttt tf2jnn0 00 0 dte).t(xT1C)nf(c (2.58) 
 
sendo que o valor de t0 é arbitrário. Neste texto, serão utilizadas as notações Cn ou 
c(nf0) indistintamente e conforme a conveniência. 
 
 
Exemplo 2.7: 
Considere um sinal periódico x(t) com período T0
0
2  . Como visto nas seções 
anteriores este sinal pode ser representado pela série infinita 
 



n
tjn
n
0eC)t(x 
 
Mostrar que, inversamente, todo sinal escrito na forma dessa série é periódico. 
 
Solução: Basta calcular 
 
 







 
n
tjn
n
n
2jntjn
n
n
Tjntjn
n
n
)Tt(jn
n0 )t(xeCe.eCe.eCeC)Tt(x 0000000
 
e portanto a série infinita representa o sinal periódico x(t). 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 54
Note que, até agora não se fez nenhuma consideração em relação à forma do 
sinal periódico, ou seja, em princípio a representação (2.57) se aplicaria a qualquer 
sinal periódico. Esta é a Série de Fourier Exponencial Complexa, ou simplesmente 
Série de Fourier Complexa do sinal x(t). Veremos mais à frente que nem todos os 
sinais periódicos podem ser representados por meio da série de Fourier, mas que ela é 
aplicável na maioria dos casos práticos. 
 
Exemplo 2.8: 
Foi visto na teoria, que se os coeficientes da série de Fourier obedecem a (2.58), então, 
o erro entre x(t) e a série será mínimo. Sob outro ponto de vista, mostrar que se (2.57) 
for satisfeita com exatidão, então, os coeficientes devem obrigatoriamente satisfazer a 
(2.58). 
 
Solução: Os coeficientes da série, Ck , onde k=0, 1, 2, ..., que podem assumir 
valores complexos, são obtidos através de: 
 
x t C ek
jk t
k
( ) 

 0 
 
multiplicando ambos os lados por e jn t 0 e integrando num intervalo de tempo de 
duração T0 : 
 
x t e dt C e e dt C e dt
T
jn t
k
jk t jn t
kT
k
k
j k n t
T
( ). ( )
 
 


  


 
    
0
0 0 0
0
0
0
    
 
Como a integral, já vista anteriormente, tem valor: 
 
e dt T k nk n
j k n t
t
t T
( ) ,
,

  0
0
0 0
0
0 
 
a somatória para k variando de - a + só terá um valor diferente de zero quando k=n. 
Portanto: 
 
x t e dt C T
T
jn t
n( ).
 
 
0
0 0
 
 
e os coeficientes são dados por: 
 
dte.)t(x
T
1C tjn
T0
n
0
0


 
 
 
 Neste ponto da análise é importante antecipar a importância da série de Fourier 
complexa na representação de sinais periódicos. Ao contrário das demais funções 
ortogonais, as exponenciais complexas exibem propriedades únicas, que as tornam 
apropriadas para atuarem como funções de base para expansões em série de funções: 
derivadas e integrais de exponenciais complexas também resultam em exponenciais 
complexas; o produto (ou divisão) de exponenciais complexas envolve tão somente a 
SINAIS E SISTEMAS 
 55
soma (ou subtração) de seus argumentos; exponenciais complexas têm íntima relação 
com as funções seno e co-seno trigonométricas e hiperbólicas, dentre outras. 
 
2.4 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA DISCRETO 
 
Os coeficientes Ck são os coeficientes da série de Fourier do sinal periódico 
x(t), também chamados de coeficientes espectrais de x(t). Eles medem a contribuição 
de cada exponencial complexa nas frequências múltiplas (harmônicas) da frequência 
fundamental 0. A fim de enfatizar suas expressões, repetem-se as equações da série 
de Fourier complexa de síntese e de análise de sinais: 
 



n
tf2jn
0
0e)nf(c)t(x (equação de síntese) (2.59) 
 
dte.)t(x
T
1C)nf(c tf2jn
T0
n0
0
0


 (equação de análise) (2.60) 
 
onde f0 é a frequência fundamental e os coeficientes Cn, n=0, 1, 2, ... são 
unicamente determinados a partir de x(t), utilizando a equação de análise. Para n=0, 
tem-se: 
 
dt)t(x
T
1C)0(c
0T0
0 

 (2.61) 
 
que é o valor médio do sinal x(t). Num sistema elétrico, isso equivaleria ao nível DC 
do sinal. 
Com exceção de eventuais descontinuidades, e admitindo que x(t) obedece às 
condições de Dirichlet, a serem vistas na seção 2.5, pode-se dizer que os coeficientes 
determinam a função x(t) de maneira única. Assim, há uma correspondência entre x(t) 
e o conjunto de coeficientes {Cn}. Como cada Cn revela o conteúdo de x(t) em cada 
frequência n.f0, o conjunto {Cn} é chamado de espectro de linhas ou espectro de 
frequência discreto de x(t). 
Os coeficientes são, em geral, funções complexas de n ou n.f0. Algumas 
propriedades dos coeficientes são desenvolvidas a seguir. 
 
Se a função x(t) é real, então x*(t)=x(t). Assim, (2.60) conduz a: 
 
n
tf2jn
T0
*
tf2jn
T0
*
n Cdte.)t(xT
1dte.)t(x
T
1C 0
0
0
0








  
 
Portanto para x(t) real: 
n
*
n CC   c*(nf0) = c(-nf0) (2.65) 
 
que é a chamada simetria conjugada ou simetria Hermitiana. 
Se Cn é representado por sua forma retangular ou polar: 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 56
]Carg[j
nnnn
ne|C|jC  (2.66) 
 
onde n e n correspondem às partes real e imaginária de Cn, respectivamente, e Cn 
= c(nf0) e arg[Cn] = arg [c(nf0)] correspondem ao módulo (ou magnitude) e 
argumento (ou fase) de Cn , respectivamente, com 
 
2/12
n
2
nn )(|C|  (2.67) 
n
n1
k tan]Carg[ 
  (2.68) 
 
então 
 
nn
*
nnnn jCjC   (2.69) 
 
logo 
 
nn
nn




 (2.70) 
 
e 
 
|C||C| nn   |)nf(c||)nf(c| 00  (2.71a) 
 
]Carg[]Carg[ nn   )]nf(carg[)]nf(carg[ 00  (2.71b) 
 
O gráfico de |Cn| em função de n, ou nf0, é chamado de espectro de magnitudes 
de x(t), que no caso de x(t) ser real, é uma função par. O gráfico de arg[Cn] em função 
de n, ou nf0, é o espectro de fase, que no caso de x(t) ser real, é uma função ímpar. 
 
 
Exemplo 2.9: 
Obter os coeficientes da série de Fourier complexa de 
 
a) t3cos3tsen1)t(x 00  
b) t1.2cost2.1sin2t6.0cos31)t(x  
 
Solução: 
a) Usando a fórmula de Euler: 
 
x t
e e
j
e e
e
j
e
j
e e
j t j t j t j t
j t j t j t j t
( )      
    
 
 
1
2
3
2
3
2
1
2
1
1
2
3
2
0 0 0 0
0 0 0 0
3 3
3 3
   
   
 
 
a qual já se encontra na forma de soma de exponenciais complexas e, portanto 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 57
C C
C C
j
C


  
   






3 3
1 1
0
3
2
1
2
1
 
 
Os gráficos do módulo e da fase dos coeficientes da série são mostrados na 
Fig.2.13: 
 
|Cn| 1
1/2
3/2
1/2
3/2
... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... n
arg [Cn]
... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... n
90
-90
180
-180
 
Figura 2.13 - Espectro de magnitude e fase de x(t). 
 
Nota-se que o módulo é uma função par e a fase uma função ímpar. 
 
b) No caso de t1.2cost2.1sin2t6.0cos31)t(x  , devemos primeiro 
verificar se x(t) é um sinal periódico. Observando as frequências dos sinais, chega-se à 
conclusão que a frequência fundamental é igual a 0=0.3, e as componentes 
senoidais correspondem àquelas nas frequências 20,40 e 70. Logo tem-se: 
 
x t t sin t t( ) cos cos   1 3 2 2 4 70 0 0   , e 
 
C C
C C
j
C C
C



 
   
  






7 7
4 4
2 2
0
1
2
1
3
2
1
 
 
 
 Devido à simplicidade dos sinais do exemplo anterior, não houve a 
necessidade de aplicar (2.60) para determinar os coeficientes da série. O próximo 
exemplo ilustra o cálculo desses coeficientes para um sinal mais elaborado. 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 58
Exemplo 2.10: 
Obter a série de Fourier e desenhar o espectro de frequências da forma de onda 
retangular mostrada na Fig.2.14. 
 
 
A
- T0-T0 tT0/2-T0/2
x(t)
 
Figura 2.14 – Forma de onda retangular periódica. 
 
 
 
Solução: Num período, entre -T0/2 e T0/2, tem-se que: 
 

 
.c.c,0
2/t2/,A
)t(x 
 
Logo, 
 
00
0
00
0
0
2/jn2/jn
0
2/
2/
tjn
0
n Tn
)2/n(sinA2
Tjn
)2/n(sinjA2
jn
ee
T
AdteA
T
1C
00
0







 
onde 0
0
0 f2T
2  
 
Portanto, 
 
)nf(sincAf)nf(sinc
T
A
nf
)nf(sin
T
A
T/2n
]2/).T/2(n[sin.
T
A2C 000
00
0
00
0
0
n 


 
onde 
sinc x
sin x
x
( )
( )  
 
O gráfico da função sinc(x) foi estudado no Capítulo 1. Para o caso particular de 
uma onda na qual T0=1/f0= 4, fica-se com: 
 
)
4
n(sinc
4
ACk  
 
e o gráfico dos coeficientes da série encontra-se desenhado na Fig.2.15 a). 
 
Contudo, sendo rigoroso e seguindo a convenção adotada no início deste capítulo, 
na qual considera-se que a magnitude seja uma grandeza positiva, sendo o sinal 
negativo levado em conta através do ângulo de fase de  1800, obtém-se os gráficos de 
módulo e fase mostrados nas Figs. 2.15b) e c). 
SINAIS E SISTEMAS 
 59
 
(a) 
 
(b) 
 
(c)
Figura 2.15 - Espectro de linhas da forma de onda retangular periódica 
 
 
2.5 EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 
 
Para determinar os coeficientes da série de Fourier do sinal x(t), utilizamos a 
equação 
 
dte.)t(x
T
1C tf2jn
T0
n
0
0


 
 
e a equação de síntese do sinal x(t) é 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 60



n
tf2jn
n
0eC)t(x 
 
Na integral, o problema que pode existir é esta divergir, i.e., Cn. Na somatória, 
mesmo os coeficientes sendo finitos, a série pode não convergir para x(t), ou seja, 
sendo 
 



N
Nn
tf2jn
nN
0eC)t(x (2.62) 
 
o fator de erro 
 
dt|)t(x)t(x| 2N
T
N
0
 

 (2.63) 
 
pode não tender a zero à medida que N tende a infinito (ou xN(t) não tende a x(t)). 
Uma condição suficiente para a convergência da série de Fourier é que o sinal 
tenha energia finita num período: 
 
| ( )|
 
  
T
x t dt
0
2 , (2.64) 
 
que garante que a maioria dos sinais práticos podem ser representados pela série de 
Fourier. 
Outras condições, chamadas condições de Dirichlet, garantem que x(t) será 
igual à sua representação pela série em qualquer instante de tempo t, exceto nas 
descontinuidades, onde a representação toma o 'valor médio' da descontinuidade. 
 
As condições de Dirichlet são: 
 
1. x(t) deve ser absolutamente integrável num período: 
 
| ( )|
 
  
T
x t dt
0
 
 
Uma função que não satisfaz a esta condição é mostrada na Fig.2.16 
 
tT-T 
Figura 2.16 - Exemplo de sinal que não é absolutamente integrável. 
SINAIS E SISTEMAS 
 61
 
2. Em qualquer intervalo de tempo finito, x(t) deve ter variação limitada, i.e., deve 
haver um número finito de máximos e mínimos num período do sinal. Um contra-
exemplo é a função x t sin
t
( )  


2
, para t entre 0 e T, mostrada na Fig.2.17. 
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1
- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
 
Figura 2.17 - Exemplo de sinal que não tem variação limitada num dado intervalo. 
 
3. Em qualquer intervalo de tempo finito, deve haver um número finito de 
descontinuidades, e as descontinuidades devem ser finitas. Um contra-exemplo é 
mostrado na Fig.2.18 
 
T/4 T/2 T t 
 
Figura 2.18 - Exemplo de sinal com um número infinito de descontinuidades finitas. 
 
 
 
Exemplo2.11: Fenômeno de Gibbs. 
Considere uma onda quadrada periódica com amplitude unitária e frequência 
fundamental 0. A sua representação em termos da série de Fourier é: 
 
t)1N2cos(
)1N2(
2)1(...t5cos
5
2t3cos
3
2tcos25.0)t(x 0
1N
000N 
 
 
Discutir o fenômeno de Gibbs. 
 
Solução: Tem-se na Fig.2.19 gráficos de xN(t) para valores de N=1, 3, 7 e 20. Nota-se 
que à medida que N cresce, a frequência das oscilações (ripple) aumenta e xN(t) se 
aproxima de x(t). No entanto, próximo da descontinuidade, o ripple fica mais estreito 
mas a amplitude não decai, ficando em cerca de 9% do valor da descontinuidade. Este 
é o chamado fenômeno de Gibbs, que ocorre sempre que se tem descontinuidades na 
função representada pela série. 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 62
-0.5 0 0.5
0
0.5
1
N=1
-0.5 0 0.5
0
0.5
1 N=3
-0.5 0 0.5
0
0.5
1
N=7
-0.5 0 0.5
0
0.5
1 N=20
 
Figura 2.19 - Fenômeno de Gibbs. Representando-se a onda quadrada através de uma série de 
Fourier truncada, tem-se as formas de onda indicadas, com N=1, 3, 7 e 20. Nota-se que à 
medida que se aumenta o número de harmônicas, o sinal aproxima-se mais da onda quadrada, a 
frequência dos ripples aumenta, mas a amplitude dos ripples não diminui. Próximo da 
descontinuidade, a função toma o valor médio desta (nesta caso, o valor 0.5). 
 
 
 
2.6 - FÓRMULA DE PARSEVAL E DISTRIBUIÇÃO DE POTÊNCIA 
 
Como já foi visto, todo sinal periódico limitado é um sinal de potência. Como 
podemos representar um sinal periódico por uma Série de Fourier, vamos obter uma 
relação entre a potência e os coeficientes da série do sinal. A potência média é dada 
por: 
 
 
  





 


 


















n
2
n
n
*
nn
*
n T
tf2jn
0
n
n T
tf2jn*
0
n
T
*
n
tf2jn
n
0T
*
0
m
|C|C.Cdte)t(x.
T
1C
dte)t(x
T
1Cdt)t(x.eC
T
1dt)t(x).t(x
T
1P
0
0
0
0
0
0
0
 
Logo 
 
 




n
2
n
n
*
nnm |C|C.CP (2.72)que é a fórmula de Parseval, que estabelece que a potência média do sinal x(t) é igual 
à soma dos módulos dos coeficientes ao quadrado, |Cn|2. Assim, os coeficientes Cn não 
apenas carregam fornecem informação de magnitude e fase, mas também da potência 
do sinal x(t) distribuída nas frequências nf0. O gráfico de |Cn|2 em função de n, ou nf0 
representa o espectro de potência discreto de x(t). 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 63
2.7 EXERCÍCIOS 
 
2.7.1 Demonstrar a equação (2.30). 
 
2.7.2. Mostrar que a série trigonométrica de Fourier (2.40) também pode ser escrita na 
forma: 
 



0n
n0n )t.ncos(c)t(f , onde 
2
n
2
nn bac  e 
n
n1
n a
btg  
 
2.7.3 Considere-se a função retangular 

 

 
1
2/1trect
1
2/1trect)t(f . Obter a 
série de Fourier-Legendre no intervalo (-1  t  +1). 
Sugestão: consultar o livro do Lathi [4]. 
 
2.7.4 A partir da série de Fourier trigonométrica mostrar que pode-se obter a série 
exponencial complexa. 
 
2.7.5 Mostre que, no caso da série de Fourier complexa 
 
a) se x(t) é real e par, então Cn é real e par 
b) se x(t) é real e ímpar, então Cn é imaginário e ímpar 
 
2.7.6 Seja x(t) um sinal periódico com período T0=1/f0, e cuja série de Fourier 
complexa tem coeficientes Cn= c(nf0). Ë obtido outro sinal y(t)=x(t-), que também é 
periódico. Determinar os coeficientes da série de y(t) em função de Cn. 
 
2.7.7 A série de Fourier complexa da função porta mostrada na Fig.P2.7.5a) foi obtida 
na teoria. A partir desse resultado determinar as séries de Fourier complexas das 
demais funções mostradas. 
 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
(Fig.P2.7.7 continua...)
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 64
 
 
(d) 
 
 
(e) 
Figura P2.7.7 
 
2.7.8 Obter a série de Fourier complexa da função senoidal retificada em onda 
completa, mostrada na Fig.P2.7.8. Compare o conteúdo de frequência do sinal 
senoidal antes da retificação e após a retificação (nível DC, harmônicas). O que você 
pode comentar sobre esse processo de retificação em relação ao conteúdo de 
frequência do sinal? 
 
t
f(t)
0 1 2
A
 
 
Figura P2.7.8 
 
2.7.9 Seja x(t) uma onda dente-de-serra como a mostrada na Fig,P2.7.8., e x’(t) uma 
aproximação obtida com os três primeiros termos não-nulos da série de Fourier 
complexa. 
a) Qual a porcentagem da potência total do sinal está contida em x’(t) ? 
b) Esboçar x’(t) para 0  t T0. 
 
0 T0
1
x(t)
t
 
 
Figura P2.7.9. 
 
2.7.10 Considere-se a função trem de impulsos de período T1 definida por: 
 



n
1T )nTt()]t([rep 1 
 
a) Esboçar o gráfico da função )]t([rep
1T
 . 
b) Calcular a série de Fourier de )]t([rep
1T
 . 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 65
CAPÍTULO 3: 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE 
FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 
Neste capítulo expressaremos uma função não-periódica como uma soma 
contínua de funções exponenciais com frequências no intervalo - a +. O conceito 
de espectro contínuo pode causar dúvidas, pois estamos mais acostumados com 
espectros de frequências discretos e com amplitudes finitas, como acontece com a 
série de Fourier. Conforme será estudado, a transformada de Fourier constitui uma 
ferramenta que permite decompor um determinado sinal nas suas componentes 
exponenciais. 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
Considere os exemplos de forma de onda retangular periódica mostrados na 
Fig.3.1., cuja largura é  e o período é T0. Nos casos mostrados, mantêm-se a largura 
fixa, porém, aumenta-se o período T0, cujos valores são 2, 4 e 8 para os casos a), 
b) e c) , respectivamente. Observa-se que, no limite, quando T0 tende ao infinito, 
obtém-se o pulso retangular mostrado em d). 
 
Na sua representação pela série de Fourier, conforme estudado no Capítulo 2, 
os coeficientes são dados por: 
 
0
0
0
0
00n T
1f,
fn
)fn(sin
Af)nf(cC 
 (3.1) 
 
e assim, multiplicando-se (3.1) membro a membro por T0, obtém-se 
 
)f(sincA
f
)f(sinA
fn
)fn(sin
ACT 0
nff0
0
n0
0




 (3.2) 
 
Modificando o valor do período T0, e mantendo-se constante o valor de , 
obtêm-se os gráficos da Fig.3.2, de T0Cn versus f=nf0. 
 
Por inspeção da Fig.3.2, nota-se que: 
 
a) Considerando-se f uma variável contínua, a função 

f
)f(sinA é a envoltória do 
sinal, e os coeficientes T0Cn são amostras desta envoltória; 
b) Para  fixo, a envoltória é independente de T0; 
c) À medida que se aumenta T0, as amostras ficam mais próximas, e os coeficientes 
da série se aproximam da envoltória. 
 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 66 
0 T0-T0 t


-
... ...
A
 
 
(a) 
 
 T0 -T0 0 


-
......
t
A
 
 
(b) 
 
0 


- T0 -T0
......
t
A
 
 
(c) 
 
0 


-
......
t
A
 
 
(d) 
 
Figura 3.1 - Onda quadrada periódica. a) T0=2. b) T0=4 . c) T0=8d) T0  . 
 
 
f,nf0
T0.c(nf0)
A
 0
 
 
 (a) (Figura 3.2 continua...) 
SINAIS E SISTEMAS 
 67
 
A
f,nf0
 0
T0.c(nf0)
 
 
 (b) 
A
f,nf0
 0
T0.c(nf0)
 
 
(c) 
 
Figura 3.2 - Coeficientes da Série de Fourier da onda retangular. 
 
As informações extraídas desse exemplo serão empregados a seguir para 
auxiliar na definição da transformada de Fourier de um sinal aperiódico arbitrário. 
 
 
3.2 A TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
Antes de prosseguir com a análise é adequado ressaltar que, neste texto, 
considera-se que a variável independente no domínio da frequência seja f, em Hertz, e 
não  (rad/s), por conduzir a relações matemáticas mais simples. 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 68 
Considere agora um sinal aperiódico x(t) de duração finita, como ilustrado na 
Fig.3.3, onde 1T|t|para,0)t(x  
 
t
x(t)
T1-T1
 
Figura 3.3 - Sinal aperiódico de duração finita. 
 
A partir deste sinal, construímos um sinal periódico xp(t) com período T0, mostrado na 
Fig.3.4, tal que, dentro de um período –T0/2  t  T0/2 ocorre xp(t)=x(t), ou seja, xp(t) 
é composto de cópias de x(t) a cada T0. 
 
t
......
T0 2T0-T0
xp(t)
T0/2-T0/2 0
 
Figura 3.4 - Sinal periódico xp(t) composto de réplicas de x(t) a cada T0. 
 
Nota-se ainda que 
 
lim ( ) ( ) ,
T p
x t x t t finito
0
  (3.3) 
 
Representando-se o sinal periódico xp(t) por sua série de Fourier, tem-se: 
 



n
tf2jn
np
0eC)t(x (3.4a) 



2/T
2/T
tf2jn
p
0
n
0
0
0 dte)t(x
T
1C (3.4b) 
 
Como xp(t)=x(t) para |t|<T0/2 e x(t)=0 para |t|>T1, quando T0/2>T1, pode-se substituir 
xp(t) por x(t) na integral (3.4b), e modificar os limites de integração: 
 
 



  dte)t(x
T
1dte)t(x
T
1C tf2jn
0
2/T
2/T
tf2jn
0
n
0
0
0
0 (3.5) 
 
a partir do qual obtém-se 
 



 dte)t(xCT tf2jnn0 0 (3.6) 
 
Como vimos no exemplo da onda retangular, podemos considerar T0Cn como 
amostras de uma envoltória. Chamando de X(f) esta envoltória, então, (3.6) conduz a: 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 69



 dte)t(x)f(X tf2j (3.7) 
 
cujos coeficientes Cn em (3.5) tornam-se: 
 
)nf(X
T
1C 0
0
n  (3.8) 
 
e, de (3.4a): 
 
 


 
n
tf2jn
0
0n
tf2jn
np
00 e)nf(X
T
1eC)t(x (3.9) 
 
Como 00 T/1f  , (3.9) se converte em 
 
0
n
tf2jn
0p fe)nf(X)t(x 0

 (3.10) 
 
Fazendo o limite para T0 tendendo a infinito, tem-se que: 
 
a) xp(t) tende a x(t); 
b) f0 tende a df; 
c) nf0 tende a f; 
d) a somatória tende a uma integral. 
 
e, portanto, (3.10) conduz a: 
 


 dfe)f(X)t(x ft2j (3.11) 
 
onde 
 



 dte)t(x)f(X ft2j (3.12) 
 
A equação (3.12) é a equação de análise da transformada de Fourier, ou 
simplesmente a transformada de Fourier do sinal x(t), enquanto que (3.11) é a 
equação de síntese da transformada de Fourier, ou a transformada de Fourier 
inversa. Tem-se portanto um par transformado, normalmente representado 
simbolicamente por: 
 
)f(X)t(x  (3.13) 
 
A transformada de Fourier X(f) fornece a informação da contribuição de cada 
componente de frequência, em módulo e fase, para o sinal x(t). Na série de Fourier, 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 70 
também havia esta contribuição, mas para frequências discretas. No caso da 
transformada, esta contribuição se dá num espectro contínuo de frequência. 
Em certas ocasiões, também será útil aplicar a notação simbólica do operador 
[x(t)] para a transformada de Fourier direta, isto é, [x(t)] = X(f), e, -1[X(f)] = x(t) 
para a transformada de Fourier inversa. 
 
3.2.1. Pulso retangular de duração  (função porta) 
 
 No caso abaixo, calcula-se a transformada de Fourier do pulso de duração , 
definido como 
 









 2/|t|,0
2/|t|,1ttrect)t(x (3.14) 
 
e mostrado na Fig.3.5a). Aplicando-se a definição (3.12), obtém-se 
 
f2j
)f(sin2j
f2j
eedtedte)t(x)f(X
2
f2j
2
f2j2/
2/
ft2jft2j








  
 
)f(sinc
f
)f(sin
f
)f(sin)f(X 

 
 
donde registra-se o par de transformada de Fourier 
 
)f(sinc.)/t(rect  (3.15) 
 
O gráfico de X(f) está indicado na Fig.3.5b), para o caso de uma porta com 
largura . 
 
 
 
 
 
 
/2-/2
1
t
rect(t/)
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 

X(f)

0
1/-1/ 2/-2/
f    
 
(b) 
 
Figura 3.5 - Espectro de um pulso retangular de duração . 
 
Na Fig.3.5b), tem-se que X(f)=1 em f=0, e que X(f)=0 quando f=n/, para n 
inteiro (n0), conforme a discussão do Capítulo 1, sobre a função sinc (x). 
SINAIS E SISTEMAS 
 71
Analisando-se (3.15), observa-se que o primeiro zero acontece para f=1/, e 
assim, para pulso estreito ( reduzido), o primeiro zero ocorre para um valor de f 
elevado, ou seja, o espectro torna-se mais largo. Por outro lado, para pulso de longa 
duração, o primeiro zero ocorre para f reduzido, indicando que o espectro torna-se 
mais estreito. Esta observação corresponde à propriedade de espalhamento recíproco, 
que será discutido com mais detalhes adiante. Num caso limite, onde o pulso é 
infinitamente estreito, deve-se esperar um espectro infinitamente largo, tendendo à 
função constante X(f) = , conforme será verificado no próximo item. 
 
3.2.2. Impulso de área unitária 
 
Considere-se a função impulso unitário x t t( ) ( )  estudada no Capítulo 1. 
Aplicando-se (3.12), e recorrendo-se às propriedades da integral do impulso, obtém-se 
 
X f x t e dt t e dt fj ft j ft( ) ( ) ( ) ,   





 2 2 1  
 
Assim, fica estabelecido o seguinte par de transformadas 
 
1)t(  (3.16) 
 
o qual encontra-se associado à Fig.3.6 
 
t f
0 0
1(t)
Figura 3.6 - Transformada de Fourier do impulso unitário. 
 
Portanto, a transformada de Fourier de um impulso unitário é uma constante, 
igual à área do impulso. Este comportamento já era previsto, a partir da propriedade 
de espalhamento recíproco anunciada no item anterior. Interpreta-se este resultado, 
afirmando-se que um impulso unitário apresenta um conteúdo espectral com 
magnitude constante e presente para todas as frequências entre  e +. 
 
3.3 CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
Na dedução da transformada de Fourier na seção 3.2, como um processo limite 
a partir da série de Fourier, limitamo-nos ao caso em que o sinal x(t) tinha duração 
finita. Porém, afirma-se que o resultado permanece válido para uma classe muito 
maior de sinais, incluindo-se alguns de duração infinita. 
Além disso, como o ponto de partida foi a série de Fourier, é razoável considerar 
as mesmas condições para a existência da transformada de Fourier: 
 
a) x(t) deve ser integrável quadraticamente, ou seja, ter energia finita: 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 72 
| ( )|x t dt2

   ; 
 
b) x(t) deve satisfazer às condições de Dirichlet: 
i) deve ser absolutamente integrável: | ( )|x t dt

   ; 
ii) deve ter um número finito de máximos e mínimos em qualquer 
intervalo de tempo finito; 
iii) deve ter um número finito de descontinuidades finitas em qualquer 
intervalo de tempo finito. 
 
É importante salientar que tais condições são suficientes, mas não necessárias 
para a existência da transformada de Fourier. Por exemplo, na seção 3.2.2 estudou-se 
a função impulso, a qual não satisfaz as condições de Dirichlet pois representa uma 
descontinuidade infinita. Contudo esta função possui transformada de Fourier. 
Por fim, é importante informar que, ao contrário da matemática, os critérios 
físicos são mais abrangentes, os quais estabelecem que, a condição necessária e 
suficiente para que um dado sinal possua transformada de Fourier, é que o processo 
físico associado ocorra consistentemente na prática. 
Conforme será comprovado nos próximos exemplos, em geral, a transformada 
de Fourier é uma função complexa X(f)= )f(X . arg[X(f)]je , onde, )f(X corresponderá a 
um espectro de magnitudes e arg[X(f)] a um espectro de fases. 
 
Exemplo 3.1: 
Calcular a transformada de Fourier da função exponencial real mostrada na Fig.3.7 e 
esboçar o seu espectro. 
-1 0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t 
 
Figura 3.7 - Exponencial real. 
 
Solução: A função exponencial real é descrita por x t e u t aat( ) ( ) ,  0, é não-
nula somente para valores positivos de t e decai exponencialmente numa taxa 1/a. Esta 
função, assintoticamente limitada no tempo, satisfaz todos os critérios de convergência 
para que sua transformada de Fourier exista. Assim, aplicando-se a definição (3.12): 
 
)af2j(
10
)af2j(
eedtedteedte)t(x)f(X
0
ft2jat
0
t)af2j(
0
ft2jatft2j











 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 73
e portanto, 
 
X f
a j f a j
( )    
1
2
1
  
 
que é uma função não-racional complexa. Ressalta-se que este resultado só foi 
possível de ser obtido porque 0)e(lim at
t
 , independentemente do fator 
ft2je  . Isto 
ficará mais claro nas discussões da seção 3.10. 
O módulo e a fase da função espectral são: 
 
,
a
1|)f(X|
22 
 


 
a
atan)]f(Xarg[ 
 
Os espectros de magnitude e de fase são mostrados na Fig.3.8, para o caso 
onde a=1/2: 
|X(f)|
1/a
f
f
0
0
-900
900
arg[X(f)]
450
a/2-a /2
0,707/a
 
 
Figura 3.8 - Módulo e fase da transformada de Fourier de uma exponencial real. 
 
 O espectro de fases é uma curva suave que inclui todos os ângulos entre –900 e 
+900. Isto se deve à falta de simetria do sinal temporal x(t), conforme será discutido na 
próxima seção. 
 
3.4RELAÇÕES DE SIMETRIA 
 
Partindo-se da definição (3.12), quando x(t) for um sinal real, pode-se mostrar 
que 
 
X f X f( ) ( )*  (3.17) 
 
ou, de forma equivalente 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 74 
X f X f*( ) ( )  (3.18) 
 
isto é, a transformada de Fourier (ou seja, o espectro) exibe simetria Hermitiana. 
Se X(f) for expresso em termos de suas partes real e imaginária, obtém-se: 
 
X f X f j X f( ) Re{ ( )} Im{ ( )}  (3.19) 
 
então 
 
X f X f j X f*( ) Re{ ( )} Im{ ( )}     (3.20) 
 
ou seja 
 
Re{ ( )} Re{ ( )}
Im{ ( )} Im{ ( )}
X f X f
X f X f
    (3.21) 
 
Observa-se, portanto, que a parte real da transformada de Fourier é uma função par, 
enquanto que a parte imaginária é uma função ímpar na variável f. 
Por outro lado, expressando X(f) na forma polar: 
 
)]f(Xarg[je|)f(X|)f(X  (3.22) 
 
observa-se que 
 
 | ( )| Re{ ( )} Im{ ( )} | ( )|/X f X f X f X f   2 2 1 2 (3.23) 
 
)]f(Xarg[
)}f(XRe{
)}f(XIm{atan)]f(Xarg[  (3.24) 
 
Como 
 
)]f(Xarg[j* e|)f(X|)f(X  (3.25) 
 
conclui-se que o espectro de magnitudes (módulo) é uma função par e o espectro de 
fases é uma função ímpar. 
Considera-se agora um sinal x(t) arbitrário (pode ser complexo). Do Capítulo 1 
sabemos que este sinal pode ser expresso como soma de uma função par (xe) e de uma 
função ímpar (xo) de t: 
 
x t x t x te o( ) ( ) ( )  (3.26) 
 
onde 
 
x t
x t x t
e ( )
( ) ( )*  
2
 (3.27a) 
 
x t
x t x t
o ( )
( ) ( )*  
2
 (3.27b) 
SINAIS E SISTEMAS 
 75
Assim, têm-se as seguintes relações 
 
)}f(XRe{)f(X)t(x ee  (3.28a) 
 
)}f(XIm{j)f(X)t(x oo  (3.28b) 
 
Porém, a partir de (3.12), para sinais x(t) reais 
 
dt)ft2sen().t(xjdt)ft2cos().t(x)f(X    =Re{X(f)}+ j Im{X(f)} 
 
e, com isso, 
 
dt)ft2cos().t(x)f(X)t(x ee   (3.29a) 
 
d)ft2sen().t(xj)f(X)t(x oo   (3.29b) 
 
 No caso onde x(t) tem simetria par, tal que x(-t)=x(t), então, x(t).cos(2ft) é 
par, enquanto que x(t).sen(2ft) é ímpar e, portanto, Xo(f)=0, e 
 
dt)ft2cos().t(x2)f(X)f(X
0e   (3.30) 
 
Conclui-se que, se x(t) for par e puramente real, seu espectro X(f) também será 
puramente real. Este resultado está de acordo com o espectro obtido para a função 
porta. 
Por outro lado, se x(t) tem simetria ímpar, tal que x(-t) = - x(t), então, Xe(f)=0, 
e 
 
dt)ft2sen().t(x2j)f(X)f(X
0o   (3.31) 
 
Assim, se x(t) for ímpar e puramente real, seu espectro X(f) será puramente 
imaginário. 
Em casos onde x(t) não for nem par nem ímpar, o espectro X(f) terá partes real 
e imaginária simultaneamente, conforme aquele obtido no exemplo 3.1. 
 
3.5 TEOREMA DE PARSEVAL 
 
 O teorema de Parseval estabelece que, se x1(t) e x2(t) são sinais de energia 
arbitrários, com transformadas de Fourier X1(f) e X2(f), respectivamente, então 
 
x t x t dt X f X f df1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
* *  



  (3.32) 
 
sendo a prova do teorema deixada como exercício para o leitor. 
No caso particular, onde x1(t)=x2(t)=x(t), então (3.32) conduz a 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 76 
| ( )| | ( )|x t dt E X f dfx
2 2



   (3.33) 
 
onde Ex é a energia de x(t), como visto no Capítulo 1. Ou seja, sendo x(t) um sinal de 
energia, sua energia pode ser obtida através da integração de |x(t)|2, no domínio do 
tempo, ou de |X(f)|2, no domínio da frequência, conforme seja mais conveniente. 
A função |X(f)|2 é chamada de densidade espectral de energia de x(t), e 
fornece a informação da energia por unidade de frequência ao longo do espectro de 
X(f). Uma análise detalhada da função densidade espectral de energia será 
apresentada no Capítulo 4. 
 
Exemplo 3.2: 
Obter a densidade espectral de energia do pulso retangular de largura  e amplitude A, 
x(t)=A.rect(t/). 
 
Solução: Utilizando-se o resultado da seção 3.2.1, verifica-se que o espectro desse 
pulso retangular é dado por )f(sincA)f(X  . Na Fig.3.9 ilustra-se o gráfico de de 
|X(f)|2. 
0 1/-1/ 2/-2/
f
|X(f)|2
2
 
 
Figura 3.9 - Densidade espectral de energia do pulso retangular. 
 
 A Fig. 3.9 revela que a maior parte da energia do pulso encontra-se dentro da 
banda  f  < 1/. De fato, calculando-se a energia nessa banda, tem-se 
 
   /1 /1 222/1 /1 2 .A92,0df).f(sinc)A(df)f(X 
 
cujo resultado demanda um cálculo numérico. 
 
 
O gráfico da Fig.3.5 indica que, em princípio, a largura espectral do pulso 
retangular de largura é infinita, uma vez que X(f) existe entre  e +, embora sua 
amplitude decaia gradativamente com f. Contudo, o exemplo anterior mostrou que a 
energia do pulso, calculada na banda  f  < 1/ , vale 0,92 A2. Por outro lado, a 
energia total do pulso é 
 
 


22
x Adt|)t(x|E 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 77
o que implica em que a largura espectral  f  < 1/ engloba mais de 90% da energia 
total do pulso. Por isso, convenciona-se dizer que a largura de banda do pulso 
retangular de largura é B=1/. Na próxima seção, discute-se mais detalhes a respeito 
da largura de banda de um sinal. 
 
3.6 LARGURA DE BANDA ESPECTRAL 
 
O conceito de largura de banda de sinais é muito importante quando trabalha-
se com sinais e sistemas de comunicação. Um sinal irradiado por uma antena para ser 
transmitido deve ter largura de banda limitada, pois caso contrário, estaria ocupando 
uma porção muito grande do espectro eletromagnético, impedindo a utilização desse 
meio de transmissão por outros sinais. A largura de banda de um sinal é obtida através 
da análise do sinal no domínio da frequência, enfatizando a importância deste tipo de 
análise em comunicações. 
Para um sinal com característica passa-baixas, ter-se-ia uma característica 
espectral genérica tal qual a mostrada na Fig.3.10: 
 
B-B f
|X(f)|
x(t)
 
Figura 3.10 - Sinal com característica passa-baixas. 
 
Neste caso, diz-se que x(t) é um sinal com banda limitada a B Hz, ou um sinal passa-
baixas com largura de banda B, o que significa que x(t) não possui componentes de 
frequência acima de B Hz. Deve ser ressaltado que, embora se trabalhe com a 
representação de espectro bilateral na Fig. 3.10, no cômputo da largura de banda 
considera-se somente a porção positiva do espectro, em conformidade com as leituras 
fornecidas por analisadores de espectro. 
No caso de um sinal com característica passa-banda ou passa-faixa com 
banda B, o espectro tem a aparência mostrada na Fig.3.11: 
 
B f
|X(f)|
x(t)
B 
Figura 3.11 - Sinal com característica passa-banda. 
 
Na prática, contudo, os sinais podem não apresentar banda limitada (e 
geralmente é o caso), e o que pode-se fazer é definir a banda do sinal a partir de 
frequências nas quais a amplitude do espectro decai a um determinado valor da 
amplitude máxima. Por exemplo, pode-se definir que a largura de banda de um sinal 
passa-baixas seja dada pela(s) frequência(s) onde o espectro de magnitudes caia a 5% 
do seu valor máximo. 
Outros critérios existem, dependendo da natureza do problema que se estuda. 
No item anterior, por exemplo, utilizou-se o critério baseado numa proporção da 
quantidade total de energia contida num pulso. No Capítulo 4, será discutida a 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 78 
definição da largura de banda de –3 dB, muito usado em sistemas práticos,em 
particular, em sistemas de áudio. 
Um outro critério que pode ser adotado é definir a largura de banda, de um 
sinal com característica passa-baixas, por exemplo, como sendo aquela de um filtro 
passa-baixas ideal (banda B) com mesmo ganho máximo, tal que a área sob |H(f)| ou 
|H(f)|2 seja igual à área sob |X(f)| ou |X(f)|2. A Fig.3.12 ilustra esta idéia. Este critério 
é muito usado na análise de ruídos. 
B-B f
|H(f)|, |H(f)|2
|X(f)|, |X(f)|2
 
Figura 3.12 - Critério para definição de largura de banda. 
 
 
3.7 RELAÇÃO ENTRE A TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO 
CONTÍNUO E SINAIS PERIÓDICOS 
 
Na dedução da transformada de Fourier a partir da série de Fourier, 
aproximou-se o sinal aperiódico x(t) por um período de um sinal periódico xp(t), de 
período T0: 
 
x t x t t| Tc c
p( ) ( ) , | /, . .

0 2
0 (3.34) 
 
Os coeficientes da série de Fourier podem ser determinados a partir da transformada 
de Fourier através de: 
 
 



  dte)t(x
T
1dte)t(x
T
1C tf2jn
0
2/T
2/T
tf2jn
p
0
n
0
0
0
0 
 
ou, recorrendo-se a (3.12), com f=nf0 
 
)nf(X
T
1C 0
0
n  (3.35) 
 
ou seja, os coeficientes Cn são obtidos a partir de amostras da transformada de Fourier 
nas frequências nf0. Uma discussão sobre amostragem de sinais será apresentada em 
detalhes no Capítulo 5. A transformada de Fourier de uma série de Fourier é discutida 
a seguir. 
 
3.8 TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 
 
Considere um sinal cuja transformada de Fourier é um impulso de área unitária 
em f=f0: 
 
X f f f( ) ( )  0 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 79
então o sinal no tempo, x(t), é obtido a partir da equação de síntese (3.11): 
x t f f e df e t jsin tj f t j f t( ) ( ) cos    

    0 2 2 0 00 
 
ou seja, x(t) é um sinal periódico com período T0=1/f0. Este resultado permite 
estabelecer mais um par de transformada de Fourier: 
)ff(e 0
tf2j 0  (3.36) 
 
Generalizando para uma combinação de impulsos de áreas Cn, localizados em 
f=nf0: 
 



n
0n )nff(C)f(X 
 
fica-se com 
 



n
tnf2j
n
0eC)t(x 
 
e, consequentemente, com um novo par de transformada de Fourier 
 
)nff(CeC 0
n
n
n
tnf2j
n
0   



 (3.37) 
 
Identifica-se no lado esquerdo de (3.37) como a representação em termos da série de 
Fourier do sinal periódico x(t). Assim, a transformada de Fourier de um sinal 
periódico, cujos coeficientes da série de Fourier são iguais a Cn , é igual a um trem de 
impulsos de áreas Cn localizados nas frequências nf0. 
Conforme visto no Capítulo 2, associado à série de Fourier tem-se um espectro 
de linhas (unilateral ou bilateral), o qual constitui uma representação de frequências 
discretas. Por exemplo, entre a componente espectral em f0, com amplitude C1=c(f0), e 
a componente em 2.f0, com amplitude C2=c(2f0), simplesmente não se define o 
espectro. O resultado (3.37) informa que esse espectro de linhas deve ser 
automaticamente convertido num espectro compostos por impulsos, segundo uma 
representação de “frequências contínuas”. Assim, ao longo de todo o intervalo entre a 
frequência f0, onde existe um impulso com área C1=c(f0), e a frequência 2.f0, onde 
existe um impulso com área C2=c(2f0), considera-se que o espectro seja definido, 
porém, que tenha amplitude igual a zero. 
 
Exemplo 3.3: 
Considere uma onda quadrada de frequência f0, tal qual aquela mostrada na Fig.3.1, e 
cujos coeficientes Cn da série de Fourier são dados por: 
 
2
1f,
n
)fn(sin
C 0
0
n 
 
 
Determinar a transformada de Fourier da sua série de Fourier 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 80 
Solução: Os coeficiente da série de Fourier podem ser rescritos como 
)2
n(sinc
2
1
n
2
nsin
Cn 

 
 
e portanto, basta aplicar (3.37) para obter a transformada de Fourier: 
 



n
0 )nff()2
n(sinc
2
1)f(X 
 
Exemplo 3.4: 
Obter a transformada de Fourier do trem de impulsos com período T0 cuja série de Fourier é 
dada por 
 
 
n
tnf2j
0n
0T
0e
T
1)nTt()t(rep)t(x 
 
Solução: Aplicando-se (3.37), com Cn=1, e sabendo-se que T0=1/f0, obtém-se 
 
X f
T
f kf f f kf
k k
( ) ( ) ( )    1
0
0 0 0  
 
onde os gráficos de x(t) e X(f) estão na Fig.3.13 
 
f0-f0 f2f0-2f0
...... f0
T0-T0 t2T0-2T0
...... 1
 
Figura 3.13 - Transformada de Fourier de um trem de impulsos. 
 
Portanto a transformada de Fourier de um trem de impulsos de áreas unitárias 
espaçados de T0 é igual a outro trem de impulsos, com áreas f0=1/T0 e espaçados de f0. 
Este sinal será importante quando estudarmos a amostragem de sinais. 
 
3.8.1 Transformada de Fourier de seno e co-seno eternos 
 
Considere o sinal senoidal eterno, definido por tcos.A)t(x 0 . Recorrendo-
se à representação em termos de exponenciais complexas: 
 






 

2
e.A
2
e.A
2
ee.A]tcos.A[)f(X
tjtjtjtj
0
0000
 
 
e assim, aplicando-se (3.36) e (3.37) obtém-se 
 
 )ff()ff(
2
A)f(X 00  (3.38) 
 
cujo diagrama espectral encontra-se desenhado na Fig.3.14 
SINAIS E SISTEMAS 
 81
f0-f0
A/2A/2
f
A cos 0 t
 
Figura 3.14 - Diagrama espectral da função co-seno 
 
Intuitivamente, este resultado era previsível, pois o espectro de um co-seno de 
frequência f0 é composto por uma única linha em f0, a qual deve ser substituída por 
um impulso no diagrama espectral de frequências contínuas. 
Por outro lado, no caso da função seno, ou seja, tsin.A)t(x 0 , tem-se 
 


 

j2
ee.A]tsin.A[)f(X
tjtj
0
00
 
 
a partir da qual, determina-se que 
 
 )ff()ff(
j2
A)f(X 00  (3.39) 
 
e cujo diagrama espectral encontra-se desenhado na Fig.3.15. Como o espectro é 
imaginário puro, excepcionalmente, não desenhamos o espectro na forma de 
magnitude e fase. 
 
f0
-f0
-A/2j
A/2j
f
A sin 0 t
 
Figura 3.15 - Diagrama espectral da função seno. 
 
 
3.9 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
A transformada de Fourier é uma ferramenta muito valiosa na análise de sinais 
e sistemas no domínio da frequência, fornecendo a informação de como é a 
dependência do sinal com a frequência. Às vezes, nos deparamos com sinais ou 
funções cujas transformadas de Fourier segundo (3.12) são difíceis de serem 
calculadas, devido à complexidade da integral envolvida. As propriedades descritas a 
seguir são muito úteis para auxiliar no cálculo de transformadas de Fourier diretas e 
inversas de sinais mais complexos, facilitando portanto a observação das relações 
entre os sinais nos domínios do tempo e frequência. A maior parte delas serão apenas 
enunciadas, deixando-se suas demonstrações por conta do leitor, como exercícios de 
fixação. 
Para a discussão dos próximos itens, considere os pares transformados abaixo: 
 
x t X f( ) ( ) (3.40a) 
x t X f1 1( ) ( ) (3.40b) 
x t X f2 2( ) ( ) (3.40c) 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 82 
Com isso, um conjunto de propriedades e teoremas da transformada de Fourier serão 
apresentados a seguir. 
 
3.9.1 Linearidade 
 
 A propriedade de linearidade ou de superposição de efeitos estabelece que 
combinações lineares no domínio do tempo correspondem a combinações lineares no 
domínio da frequência: 
 
a x t b x t a X f b X f. ( ) . ( ) . ( ) . ( )1 2 1 2   (3.41) 
 
onde a e b são fatores independentes dotempo. A demonstração dessa propriedade 
provém da definição de transformada de Fourier e do fato que a integração é uma 
operação linear. 
 
Exemplo 3.5: 
Encontrar a transformada de Fourier do sinal desenhado na Fig. 3.16a). 
 
Solução: Em primeiro lugar, observa-se que x(t) pode ser escrito como a superposição 
 
)
1
t(rect.2)
4
t(rect)t(x  
 
e assim, aplicando-se (3.15) e (3.34), obtém-se 
 
)f(sinc.2)f4(sinc.4)f(X  
 
cujo gráfico é mostrado na Fig.3.16 b). 
 
 
 
 
 
0 2-2
t
x(t)
1
2
1/2-1/2
 
 
 
 
 
 
(a) 
6
0 2-2
f
X(f)
 
 
(b) 
Figura 3.16 - Sinal para o exemplo 3.5. a) Sinal x(t). b) Espectro X(f). 
 
 
3.9.2 Deslocamento no tempo 
 
 A propriedade de deslocamento (ou retardo) no tempo estabelece que 
SINAIS E SISTEMAS 
 83
x t t e X fj ft( ) ( )  0 2 0 (3.42) 
 
Ou seja, à um deslocamento no tempo está associado um deslocamento de fase linear 
do espectro do sinal original. A magnitude do espectro, porém, não é alterada. 
 
 
Exemplo 3.6: 
Calcular a transformada de Fourier do sinal mostrado na Fig.3.17 
 
A
-A
 0
t
z(t)


 
 
Figura 3.17 - Sinal z(t) para o exemplo 3.6. 
 
Solução: Esse cálculo pode ser realizado com facilidade empregando-se as 
propriedades apresentadas e a transformada de Fourier da porta de largura , 
)/t(rect.A)t(x  analisada na seção 3.2.1. Para isto, basta verificar que 
 
)2/t(x)2/t(x)t(z  
 
Portanto, aplicando-se as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo 
 
)f(X).fsen(.2j
e).f(Xe).f(X)f(Z 2/tf2j2/tf2j

 
 
 
Recorrendo-se à expressão da transformada de Fourier de x(t), equação (3.15), e procedendo às 
simplificações, obtém-se 
 
)f(sinc.A).f2j()f(Z 2  . 
 
 
3.9.3 Teorema da dualidade ou da simetria 
 
 O teorema da dualidade provém da similaridade das integrais das 
transformadas de Fourier direta e inversa, e estabelece que, se x t X f( ) ( ) , então 
 
X t x f( ) ( )  (3.43) 
 
Ou seja, existe uma dualidade entre os domínios do tempo e da frequência. O teorema 
se prova permutando-se t e f nas integrais de Fourier (3.10) e (3.12). 
 
 
Exemplo 3.7: 
Obter a transformada de Fourier de )wt2(sinc.A)t(z  , onde A e w são constantes, e 
cujo gráfico está mostrado na Fig.3.18 a). 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 84 
z(t)
A
t
2w
1
2w
1-
 
(a) 
 
 
A/2w
0 f
Z(f)
 w- w 
 
(b) 
Figura 3.18 - Transformada de Fourier da função A sinc(2wt). 
 
Solução: Pode ser deduzido a partir da seção 3.1.1 que, 
 
)f(sinc.B)f(X)/t(rect.B)t(x  
 
então aplicando-se o teorema da dualidade 
 
)/f(rect.B)/f(rect.B)f(x)]t(X[)]t(sinc.B[  
 
Assim, fazendo B=A/2w e 2w=, obtém-se 
 
)
w2
f(rect
w2
A)wt2(sinc.A)wt2(sinc.w2
w2
A)t(z  . 
 
onde o espectro está mostrado na Fig.3.18 b). 
 
3.9.4 Translação em frequência 
 
 A propriedade de translação em frequência ou modulação complexa, informa 
que uma defasagem no tempo está associada a um deslocamento de frequências do 
espectro 
 
e x t X f fj f t2 00
 ( ) ( )  (3.44) 
 
cuja demonstração emprega o teorema da dualidade aplicado à propriedade de 
deslocamento no tempo. 
 Para observar os efeitos da translação de frequência, seja x(t) o espectro de 
banda limitada mostrado na Fig.3.19a). Na Fig.3.19b), encontra-se o espectro 
transladado. 
 
X(f)
fw-w 0
módulofase
 
(a) 
X(f-fo)
ffo+wfo-w0
módulofase
fo
 
(b) 
 
Figura 3.19 - Propriedade da translação em frequência. a) Espectro original. b) Espectro transladado. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 85
 Conforme se observa, embora X(f) tenha largura espectral igual a w, o 
espectro transladado X(f-f0) tem largura 2w: a porção de frequência negativa de X(f) 
agora aparece como frequências positivas em X(f-f0). Além disso, como o sinal 
temporal não é mais real, o espectro X(f-f0) não exibe mais a simetria Hermitiana. 
 
3.9.5 Escalonamento no tempo e frequência 
 
 A propriedade de mudança de escala estabelece que 
 
x a t
a
X
f
a
( )
| |
 


1
 , para “a” constante (3.45) 
 
a qual reflete a fenômeno de espalhamento recíproco discutido em seções anteriores. 
Assim, sinais de curta duração temporal possuem espectros com elevadas larguras de 
banda, e vice-versa. 
 
3.9.6 Propriedade das áreas 
 
 Partindo-se das transformadas de Fourier direta e inversa, obtém-se as 
propriedades das áreas: 
 
X f x t e dt X x t dtj f t( ) ( ) ( ) ( )  



 2 0 (3.46a) 
e 
x t X f e df x X f dfj f t( ) ( ) ( ) ( )  



 2 0 (3.46b)
 
Isto implica que X(0) corresponde à área sob a função x(t), um resultado 
equivalente àquele no caso periódico, onde c(0) é igual ao valor médio de x(t). Por 
outro lado, que x(0) corresponde à área líquida do espectro X(f). 
 
3.9.7 Diferenciação e Integração no tempo 
 
 Os efeitos da diferenciação ou integração de um sinal sobre o seu espectro são 
indicados pelas relações: 
 
)f(X)f2j(
dt
)t(xd n
n
n
 (3.47) 
 
e 
 
)f(
2
)0(X)f(X
f2j
1d)(x
t

 (3.48) 
 
respectivamente. Como se percebe, a diferenciação enriquece os componentes de altas 
frequências de um sinal, enquanto a integração suprime os componentes de alta 
frequência. Isto concorda com observações no domínio do tempo, que estabelecem 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 86 
que a diferenciação acentua as variações no tempo, enquanto as integrações as 
amenizam. 
 
Exemplo 3.8: 
Obter a transformada de Fourier da função pulso triangular )
2
t(tri.A)t(w  
conforme estudado no Capítulo 1. 
 
Solução: O gráfico da função w(t) encontra-se na Fig.3.20 a). Recorrendo-se à função 
z(t) utilizada no exemplo 3.6, observa-se que 
 
  
t
d).(z1)t(w 
 
 
 
 
 
w(t)
t0
A
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
0 1/-1/ 2/-2/ f
X(f)

 
(b)
Figura 3.20 - Transformada de Fourier do pulso triangular. 
 
Com o auxílio do teorema da integração e do resultado obtido no exemplo 3.6, ou seja, 
)f(sinc.A).f2j()f(Z 2  , tem-se 
 
)f(sinc.A)f(Z
f2j
11)f(W 2  
 
cujo gráfico está desenhado na Fig.3.20 b). 
 
A transformada de Fourier de certas funções x(t) podem ser determinadas 
diferenciando-se esta função uma ou mais vezes, até que apareça uma 
descontinuidade do tipo degrau pela primeira vez. A próxima derivada deverá incluir 
um impulso nessa descontinuidade. A aplicação da propriedade da diferenciação 
permitirá a determinação de X(f). 
 
Exemplo 3.9: 
Avaliar a transformada de Fourier do trapézio x(t) mostrado na Fig.3.21 a). 
 
Solução: Nas Figs. 3.21 b) e c) são mostrados os gráficos das derivadas dx(t)/dt e 
d2x(t)/dt2 (verificar isto !). Por inspeção, nota-se que 
 
)]bt()at()at()bt([
ab
A
dt
xd
2
2
 
 
e assim, aplicando-se (3.47) 
SINAIS E SISTEMAS 
 87
]eeee[
ab
A)f(X)f2j( fb2jfa2jfa2jfb2j2   
 
t
t
t
a) x(t)
b) dx(t)/dt
d x(t)/dt2 2
A
A/(b-a)
A/(b-a)
-A/(b-a)
c)
ba-b -a
0
0
0
Figura 3.21 - Sinal x(t) para o exemplo 3.9 e suas derivadas. 
 
a qual, após algumas manipulações algébricas, obtém-se 
 





 2)f2(
fb2cosfa2cos
ab
A1)f(X 
 
 
3.9.8 Diferenciação e integração em frequência 
 
 A partir de (3.47), (3.48) e do teorema da dualidade obtém-se as propriedades 
de diferenciação e integração em frequência: 
 
 j t x t d Xf
df
2 ( ) ( ) (3.49) 
 
e 
 


  d)(Xt2j )t(x)t(2 )0(x
f
 (3.50) 
 
respectivamente. 
 
 
3.9.9 Convolução e multiplicação 
 
 Um dos teoremas mais importantes na análise de sinais é o teorema da 
convolução, que é composto de duas partes, sendo que a primeira aborda a 
transformada de Fourier da convolução e, a segunda, da multiplicação de sinais. 
 
x t x t X f X f1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )   (3.51) 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 88 
 
x t x t X f X f1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )   (3.52) 
 
Assim, os teoremas estabelecem que a convolução no domínio do tempo se 
transforma em multiplicação no domínio da frequência, enquanto a multiplicação no 
domínio do tempo se transforma em convolução no domínio da frequência. 
 
 
Exemplo 3.10: O espectro de x2(t) 
Considere-se x(t) limitado em banda w como o espectro mostrado na Fig.3.22 a). 
Discutir o espectro de x2(t). 
 
Solução: Se X(f) for o espectro de x(t), então, o espectro de x2(t) deve ser resultado da 
convolução de X(f) com ele mesmo. Conforme foi discutido no Capítulo 1, se X(f) 
ocupa a faixa de largura w, o resultado de X(f)*X(f) deve ocupar 2w. O resultado está 
esboçado esquematicamente na Fig.3.22 b), ou seja, sem nenhum conhecimento 
específico sobre x(t), observa-se que x2(t) tem largura de banda 2w. 
 
X(f)
fw-w 0
 
(a) 
X*X(f)
f
2w-2w 0
(b) 
Figura 3.22 - Aplicação do teorema de convolução. a) Espectro de x(t). b) O espectro de x2(t). 
 
 
 
3.9.10 Modulação real 
 
Considere um sinal x(t) de banda limitada a B, como o mostrado na Fig.3.23a), 
multiplicado por um sinal senoidal com frequência f0 maior que 2B, como o da 
Fig.3.23 b), resultando em: 
 
y t x t t( ) ( ).cos 0 
 
como mostrado na Fig.3.23 c), onde nota-se que x(t) modula a amplitude da senóide. 
Este é um caso de modulação por amplitude, mais especificamente chamado de DSB-
SC. É interessante analisar-se o espectro do sinal modulado. 
Pela propriedade da convolução, o espectro do sinal y(t) é dado por: 
 
}t{cos)f(X)f(Y 0 
 
2
)ff(X
2
)ff(X
2
)ff()ff(
)f(X)f(Y
00
00




 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 89
f
ff0-f0
B-B
ff0-f0
x(t)
cos0t
x(t).cos0t
(a)
(b)
(c)
 
Figura 3.23 - Modulação de uma portadora por um sinal x(t). 
 
Ou seja, ao multiplicar-se o sinal x(t) por uma senóide na frequência f0, o 
efeito causado em frequência é um deslocamento do espectro do sinal modulador x(t) 
para as frequências  f0. Generalizando-se, a propriedade de modulação real 
estabelece que 
 
)ff(X
2
e)ff(X
2
e)tf2cos().t(x 0
j
0
j
0 

 (3.53) 
 
(encoraja-se o leitor a comprovar isto). Esta propriedade é de extrema importância 
quando se estudam processos de modulação linear como, por exemplo, a modulação 
de amplitude (AM) nos sistemas de comunicação. 
 
Exemplo 3.11: Pulso de RF 
Uma função muito usada em comunicação é o pulso de RF (rádio-frequência), 
definido por tcos)./t(rect.A)t(z 0 , e que encontra-se desenhado na Fig.3.24. 
Obter a transformada de Fourier de z(t). 
z(t)
t/2/2
A
f0
 
 
Figura 3.24 - Pulso de RF. 
 
Solução: Aplicando-se a propriedade de modulação, obtém-se 
 
 )ff(sinc
2
A)ff(sinc
2
A)f(Z 00 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 90 
cujo espectro é mostrado na Fig.3.25. 
 f0-f0
 0
A/2
|Z(f)|
f
 
 
Figura 3.25 - Espectro do pulso de RF. 
 
Observa-se que à medida que a largura do pulso de RF () aumenta, z(t) tende 
ao co-seno eterno. Simultaneamente, a magnitude de Z(f) aumenta e a largura dos 
pulsos sinc centrados em f0 diminui, tendendo-se ao impulso no limite (conforme 
visto no Capítulo 1). Nesta situação, o espectro corresponde ao da Fig.3.14. 
 
3.10 TRANSFORMADAS NO LIMITE 
 
Veremos agora, o caso de algumas funções descontínuas, como a função sinal, 
ou que não são absolutamente integráveis, como a função constante e o degrau, mas 
que permitem o cálculo da transformada de Fourier como um processo limite. 
 
3.10.1. Função sinal 
 
 A função sinal, mostrada na Fig.3.26 a) é dada por 
 







0t,1
0t,0
0t,1
)tsgn()t(x (3.54) 
 
Para fins de ilustração, vamos tentar obter a transformada de Fourier da função 
sinal, através da definição (3.12): 
 






  0
ft2j0ft2j
0
ft2j
0
ft2j
f2j
e
f2j
edte)1(dte)1()f(X 
 
(atenção: cuidado para não aplicar 0elim x
x
 , quando x é imaginário puro !) 
 

 


0
0
f2j
)ft2sen(.j)ft2cos(
f2j
)ft2sen(.j)ft2cos()f(X 
 
Contudo, o valor de cos(x) para x não é definido (!!??). Portanto, a transformada 
de Fourier dessa função não pode ser determinada aplicando-se a definição 
diretamente. Porém, ela pode ser aplicada segundo um processo limite, como visto a 
seguir. 
SINAIS E SISTEMAS 
 91
Para o cálculo do espectro da função sinal, vamos considerar o seguinte pulso 
exponencial g(t), desenhado na Fig.3.26b): 
 
g t e u t e u t aat at( ) ( ) ( ) ,    0 (3.55) 
 
 
-1
1
t
sgn(t)
 
 
(a) 
0 t
g(t)
1
-1
e-atu(t)
-eatu(-t)
 
(b)
 
Figura 3.26 - Cálculo da transformada da função sinal. a) Função sinal. b) Funções exponenciais 
usadas para obter a função sinal no limite, quando “a” tende a zero. 
 
Pode-se observar que, à medida que “a” tende a zero, g(t) em (3.55) tende à 
função sinal (3.20), mostrado na Fig. 3.26 a), isto é 
 
)t(glim)tsgn()t(x
0a 
 
e portanto 
 
)f(Glim)]t(g[lim)]t(glim[)f(X)]t(x[
0a0a0a   
 
Como 
 
G f g t e dt e e dt e e dt
a j f a j f
j ft at j ft at j ft( ) ( )
( ) ( )
       





 

  2 2
0
2
0
1
2
1
2
  
  
G f j
a
( )  
2
2 2

 , 
 
fica-se com 
 
X f G f j
a
j
a a
( ) lim ( ) lim     0 0 2 2
2 2
  
 
Portanto, obtém-se mais um par de transformada de Fourier: 
 
f
1j)tsgn(  (3.56) 
 
3.10.2. Função constante 
 
 Apesar de corresponder a um sinal extremamente simples, a função constante 
x(t)=A não é absolutamente integrável e nem permite que seu espectro seja 
determinado a partir de (3.12) (verificar isto !). Assim, deve-se aplicar o processo 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 92 
limite conforme visto no item anterior. Para isto, vamos considerar o par de 
transformadas de Fourier: )f(sinA)/t(rect.A  . No limite, quando a 
largura do pulso de amplitude A tende ao infinito e, portanto, podemos afirmar que 
 
)/t(rect.Alim)t(x   
 
Considerando-se a transformada de Fourier de ambos os lados 
 
)]f(sin.A[lim)]/t(rect.A[lim)]/f(sinc.Alim[)f(X)]t(x[   
 
Chamando-se  /1 , observa-se que 
 
)]f(sinc1.[limA)f(X
0   
 
e assim, a partir de resultados do Capítulo 1, observa-se que o termo entre colchetes é 
um impulso no limite. Portanto, obtém-se finalmente, um novo par de transformada de 
Fourier: 
 
)f(.AA  (3.57) 
 
cujos gráficos estão esboçados na Fig.3.27. 
 
ft
00
A 
Figura 3.27 - Transformada de Fourier da função constante. 
 
 Este resultado já devia ser esperado pois informa, simplesmente, que o 
espectro da função constante (só apresenta componente DC) é constituído por um 
impulso na origem (é não-nulo apenas em f=0). 
 
Exemplo 3.12: 
Calcular a integral imprópria   dye xy2j 
 
Solução: Basta recorrerà definição de transformada de Fourier (3.12), com x(t)=1, e 
empregar (3.57) com A=1: 
 
)f(dte.1]1[)f(X ft2j    , 
e assim, 
 
 )x(dye xy2j   
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 93
3.10.3. Degrau unitário 
 
 O degrau unitário é definido por 
 
 x t u t
t
t
( ) ( )
,
,
  

1 0
0 0
 (3.58) 
 
e também não é absolutamente integrável. O leitor deve tentar calcular a transformada 
de Fourier do degrau usando a definição (3.12), a fim de concluir que ela não conduz 
a resultado definido. Porém, deve-se notar que 
 
x t u t t( ) ( ) sgn( )  1
2
 (3.59) 
 
Assim, usando a propriedade de linearidade e o resultado (3.56), obtém-se 
 




  1j
2
)f(
2
)tsgn(
2
1)f(X 
 
ou seja 
 
f2
1j
2
)f()t(u 
 (3.60) 
 
O espectro da função degrau é mostrado na Fig.3.28. 
 
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-150
-100
-50
0
50
100
150
f
arg{X(f)}
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f
|X(f)|
 
Figura 3.28 - Módulo e fase do espectro de um degrau unitário. 
 
 Como o leitor perceberá, o conceito de transformada de Fourier e de suas 
propriedades constituirão ferramentas poderosas para análise de sistemas lineares 
invariantes no tempo (Capítulo 4) e amostragem de sinais (Capítulo 5). 
 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 94 
3.11 EXERCÍCIOS 
 
3.11.1. Na transformada de Fourier, com v(t)V(f): 
 
a). Mostre que se: 
i) v(t) for real e par, V(f) é real e par; 
ii) v(t) for real e ímpar, V(f) é imaginário e ímpar; 
iii) v(t) for imaginário e par, V(f) é imaginário e par; 
iv) v(t) for complexo e par, V(f) é complexo e par; 
v) v(t) for complexo e ímpar, V(f) é complexo e ímpar; 
 
b) Demonstre as seguintes relações: 
i) v(-t)  V(-f); 
ii) v*(t)  V*(-f); 
iii) v*(-t)  V*(f); 
iv) v(t-)  V(f)exp(-j2f); 
v) v(-t+)  V(-f) exp(-j2f); 
vi) v*(-t+)  V*(f) exp(-j2f); 
 
3.11.2. A partir da definição, determinar a transformada de Fourier da função 
exponencial bilateral tae)t(v  . 
 
3.11.3. Demonstrar o teorema de Parseval (3.32). 
 
3.11.4. Demonstrar os seguintes teoremas da transformada de Fourier: 
a) Dualidade; 
b) Retardo no tempo; 
c) Mudança de escala; 
d) Modulação complexa; 
e) Diferenciação. 
Sugestão: Consultar o livro do Carlson [3]. 
 
3.11.5. Demonstrar que é necessário acrescentar um impulso unitário ao teorema da 
Integração para sinais cujas áreas líquidas são não nulas, isto é 
 




 
t
)f(
2
1
f2j
1)f(Vd)(v 
 
3.11.6. Dado )2/t(Arect)2/t(Arect)t(z b 

 calcular a transformada de 
Fourier de 

 



t
b 0
),/1(A
d)(z1)t(w . 
 
Desenhar os gráficos de zb(t), w(t) e seu espectro. 
 
3.11.7. Demonstrar os teoremas da convolução 
SINAIS E SISTEMAS 
 95
)f(W)f(V)t(w*v  
)f(W*)f(V)t(w)t(v  
 
3.11.8. Comprovar a propriedade de modulação, partindo-se da propriedade de 
translação em frequência e da transformada de Fourier do co-seno. 
 
3.11.9. Considere os sinais xp(t), x1(t) e x2(t), mostrados na Fig.P3.11.8 onde x1(t) e 
x2(t) podem ser obtidos a partir de xp(t). Mostre que X1(kf0) e X2(kf0), ou seja, os 
coeficientes Ck podem ser obtidos a partir de x1(t) ou x2(t). Ou seja, pode-se montar o 
sinal periódico de diversas maneiras, o que não vai afetar o resultado. 
 
T0-T0 t
xp(t)
T0/2-T0/2 t
x1(t)
T0 t
x2(t)
 
Figura P3.11.9. 
 
3.11.10. Obter o valor da integral 
 
 dx).x6(sinc12I 
 
3.11.11. Obtenha o valor da seguinte integral, utilizando a relação de Parseval: 
 
  dt).t(ueI t2 
 
3.11.12. A partir do resultado obtido no exemplo anterior, e do teorema de energia de 
Parseval, mostrar que 30
222
a4
dx)xa(   
 
3.11.13. Determine a Transformada de Fourier de um pulso Gaussiano de área 
unitária: p t
t
( ) exp( ) 1
2 2
2
2   . 
 
 Sugestão: Usar as propriedades de diferenciação. 
 
3.11.14. Determine a Transformada de Fourier de x(t)=sinc2t Dê a expressão e esboce 
o gráfico de X(f). 
 
3.11.15. Calcule a transformada de Fourier do pulso: 
 
x t A
t
T
t
T
( ) cos , 

 
2 2
0
0 0
0
   
 
expresse seu resultado em termos da função sinc e forneça um gráfico do módulo e da 
fase de X(f). 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 96 
3.11.16. Este exercício tem como objetivo o estudo do impulso como o limite de 
algumas funções. Escreva a transformada de Fourier das seguintes funções abaixo, e 
fazer lim (0) no tempo e freqüência. Quais os sinais resultantes? Interprete os 
resultados nos domínios do tempo e da frequência. 
 
3.11.17. Mostre que a transformada de Fourier inversa de (f) é igual a 1. 
 
a) 
1
 
t


 
b) 
1
 sinc
t


 
 
3.11.18. Usando somente a transformada de Fourier do impulso unitário, e 
propriedades adequadas, encontre a transformada de Fourier dos mostrados na 
Fig.P3.11.18: 
 
x(t)
t
1
1 2 3
x(t)
t
1
1 2
x(t)
t
1
1 2 3
x(t)
t
1
21
t2
(a) (b)
(c) (d) 
Figura - P3.11.18. 
 
3.11.19. Há várias maneiras de se estimar a banda essencial de sinais de banda 
ilimitada. Para um sinal passa-baixas, por exemplo, a banda essencial pode ser 
escolhida a partir da freqüência onde a amplitude do espectro atinge K% do seu valor 
de pico (normalmente em f=0), onde a escolha de K depende da aplicação. Para K=5, 
determine a banda essencial dos sinais: 
 
a) g t e u ta t( ) ( );  a>0 
b) g t e a t( ) ;  a>0 
 
3.11.20. Usando a técnica das diferenciações sucessivas determinar a transformada de 
Fourier do pulso co-senoidal levantado (raised cosine pulse): 
 
)2/t(rect.tcos1
2
A)t(x 



 
 
 Sugestão: Livro do Carlson [3]. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 97
3.11.21. Calcular a transformada de Fourier de (este é um sinal de FM, modulado por 
uma porta) t2cos)./t(rect.Atcos)./t(rect.AtcosA)f(v ccc  , onde =2/fc. 
Desenhar os gráficos de v(t) e seu espectro. 
 
3.11.22. Calcular a transformada de Fourier da senóide amortecida: 
 
)t(u.tsene)t(w 0
at   . 
 
Desenhar os gráficos de v(t) e seu espectro. 
 
3.11.23. Considere-se a função trem de impulsos no tempo definida por: 
 


n
1T )nTt()]t([rep 1 
c) Esboçar o gráfico da função )]t([rep
1T
 . 
d) Calcular a Série de Fourier de )]t([rep
1T
 . 
e) Mostrar que a Transformada de Fourier de )]t([rep
1T
 é dada por 
 )]f([rep
T
1)]}t([rep{
11 T/1
1
T  . 
 
f) Calcular graficamente e desenhar o resultado da convolução do trem de impulsos 
)]t([rep
1T
 com uma função pulso retangular )T/t(rect 2 , isto é, 
 
v(t)= )T/t(rect 2 * )]t([rep 1T  , para T1>>T2, 
 
onde: 
 




2/Ttpara0
2/Ttpara1
)T/t(rect
2
2
2 . 
 
g) Mostrar analiticamente que a Transformada de Fourier da função v(t) é dada por 
 
 )
T
nf(.
T
nTsinc
T
T)]t(v[
1n 1
2
1
2  

. 
 
3.11.24. Uma análise grosseira do espectro do sinal de vídeo (TV em preto e branco) 
pode ser realizada adotando-se um modelo simplificado para tal sinal, conforme 
ilustrado na Fig.P3.11.21: 
 
ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 
 
 98 
0 V
0,7 V
-0,3 V
Th Ta
Ts Tp 
 
Figura P3.11.24 
 
onde o período do sinal é Th=63,5 ms e os demais valores aproximados são Ts=5 ms, 
Ta=11 ms e Tp=2 ms. Esta forma de onda representa uma tela branca. O pulso estreitode amplitude –0,3 V sincroniza as linhas na tela e o pulso de largura Ta é o chamado 
pulso de apagamento horizontal, sendo que o nível 0V representa o preto na imagem. 
Nesta análise, está se ignorando o apagamento e sinconização vertical. 
 
a) Representar matematicamente a forma de onda acima, como uma combinação 
linear de três termos: um nível DC e dois pulsos retangulares. Escolher a origem 
do tempo como melhor lhe convier e utilizar símbolos em vez de valores 
numéricos para os parâmetros temporais. 
b) Calcular o espectro do sinal e esboçar o espectro de magnitudes. 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 99
CAPÍTULO 4: 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 
Este Capítulo tem por objetivo introduzir os conceitos de sistemas, discutir a 
resposta em frequência e apresentar alguns exemplos de sistemas elementares 
importantes. O leitor perceberá que a análise de sistemas constitui uma generalização 
da teoria de circuitos elétricos. A análise de circuitos trata das relações entre tensões e 
correntes; a análise de sistemas trata com relações entre sinais, que podem ser tensões, 
correntes, temperatura, pressão ou outra grandeza física que varie no tempo. Circuitos 
são descritos por diagramas de circuitos, que são interconexões de elementos 
idealizados (resistências, capacitâncias, indutâncias e fontes). Sistemas são descritos 
por diagramas de blocos, que são interconexões idealizadas de sistemas elementares. 
O objetivo da análise de circuitos é obter e interpretar relações entre tensões e 
correntes no circuito elétrico. O objetivo da análise de sistemas é obter e interpretar as 
relações entre sinais de entrada e saída no sistema. 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
 
Assim como sinais, encontramos sistemas em diversas situações do dia-a-dia. 
Um rádio é um sistema que converte as ondas eletromagnéticas captadas por sua 
antena em sinais sonoros audíveis. Dentro deste sistema rádio, existem subsistemas 
responsáveis por determinadas tarefas específicas, como por exemplo os alto-falantes, 
que convertem sinais elétricos em variações de pressão, que é o som. Este sistema é 
chamado de transdutor. Um outro sistema envolvido na recepção de ondas de rádio é 
um filtro que reduz ruídos e interferências que tendem a prejudicar a recepção. Um 
amplificador de áudio pode ser considerado outro sistema, cuja função é 
elevar/atenuar o nível de sinal. 
 
SISTEMA
S{.}
y(t) = S {x(t)}
entrada saída
x(t) y(t)
 
 
Figura 4.1 - Representação de um sistema genérico. 
 
Portanto, um sistema pode ser visto como um processo, ou uma caixa-preta, 
que tem à sua entrada um ou mais sinais, e que produz um outro(s) sinal(is) na sua 
saída, ou, em outras palavras, produz uma transformação nos sinais de entrada. 
Matematicamente, é dito também que um sistema mapeia uma dada função (sinal de 
entrada) em outra (sinal de saída). Em outras ocasiões, um sistema é tratado como um 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 100 
operador matemático S{ . }, que atua sobre o sinal de entrada para constituir a saída. 
Esquematicamente, pode-se representar um sistema como na Fig.4.1. De maneira 
genérica considera-se que a entrada do sistema é x(t) e a saída é y(t). 
 
4.2. CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS 
 
Nesta seção são apresentadas as principais características de sistemas, e é dada 
especial atenção aos sistemas ditos lineares e invariantes no tempo (SLIT). Os 
sistemas considerados neste texto terão uma única entrada e uma única saída (SISO - 
Single Input Single Output). 
 
4.2.1 Sistemas com e sem memória 
 
Um sistema é chamado sem memória [2] ou estático [8] se a saída y(t), num 
determinado instante, depende da entrada x(t) apenas naquele instante, i.e., não 
depende de entradas anteriores nem posteriores. No caso contrário, o sistema é dito 
com memória ou dinâmico. 
 
Exemplo 4.1: 
Citar um exemplo de sistema sem memória e um com memória 
 
Solução: O sistema identidade y(t) = x(t), é um exemplo de sistema sem memória 
pois uma saída num determinado instante t0, y(t0), depende apenas do valor da entrada 
nesse mesmo instante, isto é, de x(t0). 
 Por outro lado, um sistema especificado por y(t) = x(t -1) + 2x(t + 2) , 
constitui um sistema com memória, pois a saída no instante t2 = 2 s, por exemplo, 
depende das entradas em t1 = 1 s e em t3 = 3 s. 
 
Exemplo 4.2: 
Citar um exemplo prático de sistema sem memória e outro com memória 
 
Solução: Um divisor de tensão resistivo é um exemplo prático de um sistema sem 
memória: 
x(t)
R1
R2 y(t)=x(t).R2/(R1+R2)
 
 
Figura 4.2 - Exemplo de sistema sem memória 
 
Por outro lado, a relação entre a tensão e a corrente num capacitor representa 
um sistema com memória, pois a tensão depende não só da corrente no instante atual t, 
mas também de todos os valores de correntes desde - até t: 
 
C
x(t)
y t
C
x d
t
( ) ( )

1  
 
 
Figura 4.3 - Exemplo de sistema com memória 
 
Os exemplos anteriores são bastante ilustrativos pois permitem introduzir o 
conceito de estado/condições iniciais. A resposta de um sistema sem memória 
SINAIS E SISTEMAS 
 101
depende apenas da entrada x(t), ou seja, dada a entrada, a saída é determinada. Para 
um sistema com memória, a saída depende não só da entrada, mas das chamadas 
condições iniciais, ou estado do sistema. 
A resposta y(t) de um sistema com memória para t t 0 é determinada por [2]: 
 
 condições iniciais em t t t 0 0, ( )v 
 entrada para t t 0 
 
ou esquematicamente 
 
v( )
( ) ,
( )
t
x t t t
y t0
0
  (4.1) 
 
A resposta do sistema pode ser dividida em duas partes: 
 
 Uma devida às condições iniciais considerando a entrada zero. Esta, às vezes, é 
chamada de resposta a entrada zero ou resposta homogênea, yh(t). 
 Uma devida somente à entrada, considerando condições iniciais nulas. Esta pode 
ser chamada de resposta forçada, yf(t). 
 
Dessa forma: y(t)=yf(t)+yh(t), e o mesmo sistema pode ter diferentes respostas 
à mesma entrada, dependendo das condições iniciais. Muitas vezes, considera-se que 
as condições iniciais são nulas. 
 
Exemplo 4.3: 
Especificar a resposta do sistema capacitor do exemplo 4.2, considerando-se as 
condições iniciais. 
 
Solução: Completando a análise do sistema com memória dado no exemplo 4.2, a 
tensão num capacitor depende da sua carga inicial (ou tensão inicial) no instante 
t t 0: 
 
y t
C
x d y t
t
t
( ) ( ) ( ) 1 0
0
  
 
onde y(t) é a tensão e x(t) a corrente pelo capacitor. 
 
 
4.2.2. Inversibilidade e sistemas inversos 
 
Um sistema é chamado inversível se entradas distintas levam a saídas distintas. 
Em outras palavras, conhecendo-se a saída, pode-se determinar a entrada de maneira 
única. 
 
Exemplo 4.4: 
Citar um exemplo de sistema inversível e outro não inversível. 
 
Solução: Um exemplo de sistema inversível é: y(t) = 2x(t) , cujo sistema inverso é 
z(t) = y(t) / 2 = x(t) 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 102 
Um exemplo de sistema não-inversível é:y(t) = x (t) 2 , pois, dada uma saída, 
existe uma ambiguidade de sinal em relação à entrada. Por exemplo, à saída y=4, 
podem ser associadas as entradas x=-2 ou x=+2. 
 
 
4.2.3. Causalidade (ou Realizabilidade) 
 
Um sistema é causal [2]-[4] ou realizável [8] se a saída no instante t depende 
apenas de valores da entrada para instantes de tempo menores ou igual a t, ou seja, a 
saída não pode depender de valores futuros da entrada. 
 
Exemplo 4.5: 
Citar um exemplo de ambos, um sistema causal e um não causal. 
 
Solução: Um sistema causal é 
 
y(t) = x(t) + x(t - 2) 
 
pois todas as entradas atuais (no instante t) dependem apenas de entradas atuais (nos 
instantes t) ou passadas (nos instantes t-2). Por outro lado, um sistema não-causal é 
 
y(t) = x(t +1) 
 
pois uma saída avaliada no instante atual t segundos , depende daentrada em (t+1) 
segundos, e que portanto ainda não aconteceu. 
 
 
Todos os sistemas físicos são causais. Conforme será visto adiante, um filtro 
ideal é um sistema não-causal ou não-realizável fisicamente, e portanto não pode ser 
implementado com componentes reais. No projeto de um filtro prático, procura-se 
uma aproximação para um filtro ideal, mas respeitando-se o princípio da causalidade. 
A causalidade é importante quando trabalha-se com sistemas que operam em tempo 
real, como em sistemas de comunicações e sistemas de controle. Em aplicações onde 
não se necessita o processamento em tempo real, podem aparecer sistemas não-
causais [10]. Por exemplo, em sinais gravados (voz, geofísicos, imagem), pode-se 
utilizar toda a informação armazenada para determinar uma saída num determinado 
instante, o que pode ser considerado uma operação não-causal. 
 
 
4.2.4. Estabilidade 
 
Um sistema estável é aquele onde pequenas entradas (de baixa amplitude) 
produzem saídas que não divergem. Uma outra definição é que entradas limitadas 
produzam saídas limitadas (BIBO - Bounded Input Bounded Output). 
 
 
Exemplo 4.6: 
Citar um exemplo de ambos, um sistema estável e um não estável. 
 
Solução: Um exemplo de sistema estável é: 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 103
y(t) = 2x(t) 
 
pois, se x(t) é limitada, então, existe um número Mx, tal que,  xM)t(x para 
todo t e, portanto, ocorre  xM2)t(x2)t(y , independentemente de t. 
Um exemplo de um sistema instável é o acumulador, definido por: 
   t d)(x)t(y . Assim, por exemplo, se x t u t( ) ( ) (degrau unitário), a qual é 
limitada (pois u(t)1 para todo t), observa-se que o resultado da integral, quando t, 
diverge e tende para +. 
 
Exemplo 4.7: 
Citar um exemplo prático de sistema estável e outro instável. 
 
Solução: Um sistema de som em um auditório (com microfone, amplificadores e 
caixa de som) é um exemplo de sistema estável, pois a saída do sistema é uma versão 
amplificada da voz do cantor. 
Por outro lado, o sistema pode tornar-se instável se um cantor em movimento 
ficar muito próximo ao alto-falante, e gerar o efeito de microfonia. 
 
 
 Conforme percebe-se no exemplo anterior, é muito mais fácil provar que um 
sistema não é estável, do que o contrário, uma vez que basta apresentar um único 
contra-exemplo para comprovar a negação. Porém, para provar que um dado sistema é 
estável (ou sem memória, ou inversível, ou causal, etc), devem-se apresentar 
argumentos que valham para todos os instantes de tempo e para todos os sinais de 
entrada possíveis e imagináveis. 
 
4.2.5. Invariância no tempo 
 
Um sistema é dito invariante no tempo se um atraso na entrada produz o 
mesmo atraso na saída. Um sistema variante no tempo é um sistema cujas 
características são alteradas com o tempo como, por exemplo, as alterações das 
propriedades de um circuito eletrônico quando a temperatura em torno dele varia 
significativamente [5]. 
Se uma entrada x(t) produz uma saída y(t), então, se o sistema é invariante no 
tempo, ocorrem 
  
  )tt(y)tt(x
)t(y)t(x
00 

S
S
 (4.3) 
 
 Como veremos a seguir, quando a invariância de um sistema é associada a 
linearidade permite-se estabelecer uma análise matemática extremamente elegante. 
 
Exemplo 4.8: 
Citar um exemplo de ambos, um sistema invariante e um não invariante. 
 
Solução: Como exemplo de sistema invariante, considere  y t sin x t( ) ( ) 
 
Chamando a saída y1(t) como a resposta a uma entrada x1(t), tem-se 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 104 
 y t sin x t1 1( ) ( ) 
 
Seja agora a entrada x2(t) 
 
x t x t t2 1 0( ) ( )  
 
cuja correspondente saída é 
    y t sin x t sin x t t2 2 1 0( ) ( ) ( )   
 
e como 
  y t t sin x t t1 0 1 0( ) ( )   
 
tem-se que 
 
y t y t t2 1 0( ) ( )  
 
e o sistema é invariante no tempo. 
 
Por outro lado, considere agora o sistema 
 
y t t x t( ) ( ) 
 
e para uma entrada x t y t t x t1 1 1( ) , ( ) ( ) . 
 
Para uma entrada x t x t t2 1 0( ) ( )  , tem-se a saída 
 
y t t x t t x t t2 2 1 0( ) ( ) ( )   
 
Como 
 
y t t t t x t t y t1 0 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( )     
 
e portanto o sistema não é invariante no tempo. 
 
Exemplo 4.9: 
Um sistema diferenciador é um dispositivo caracterizado pela relação y(t)=dx(t)/dt. 
Avaliar se o diferenciador é invariante no tempo. 
 
Solução: Vamos avaliar a resposta do diferenciador à uma entrada x1(t): 
 
dt
)t(dx)t(y 11  . 
 
A resposta à x2(t) = x1(t-t0) será 
 
)tt(y
)]01)(tt(y[
dt
)tt(d.
)tt(d
)tt(dx
dt
)tt(dx
dt
)t(dx)t(y
01
01
0
0
01012
2



 
SINAIS E SISTEMAS 
 105
que evidencia que o sistema é invariante no tempo. 
 
4.2.6. Linearidade 
 
Um sistema linear é aquele onde vale o princípio da superposição: se a entrada 
é uma combinação linear de diversos sinais, a saída será a combinação linear das 
respostas do sistema a cada um dos sinais de entrada. 
 
a) Linearidade para sistemas sem memória 
 
Para um sistema sem memória, a saída y(t) depende apenas da entrada x(t). Se 
as respostas às entradas x1(t) e x2(t) são y1(t)=S{x1(t)} e y2(t)=S{x2(t)}, 
respectivamente, então o sistema é linear se 
   )t(y)t(y)}t(y{)}t(y{)t(x)t(x 212121  SSS (aditividade) (4.4) 
 
e 
   )t(y.a)}t({y.a)t(x.a 111  SS (homogeneidade) (4.5) 
 
As duas condições acima, combinadas numa só, são o que se chama de princípio da 
superposição, que pode ser rescrito de maneira mais sucinta como 
       )t(ya)t(ya)t(xa)t(xa)t(xa)t(xa 221122112211  SSS (4.6) 
 
 
Exemplo 4.10: 
Avaliar se os sistemas abaixo são ou não lineares: 
 
a)  x(t)sin=y(t) 
b) tsin).t(x)t(y  
c) constantesba,,b)t(ax)t(y  
 
Solução: 
a) Fazendo )t(xa)t(xa)t(x 2211  , tem-se que 
        
   )t(xa)t(xasin)t(xa)t(xa
e
)t(xasin)t(xa,)t(xasin)t(xa
22112211
22221111


S
SS
 
 
Como      )t(xasin)t(xasin)t(xa)t(xasin 22112211  , tem-se que o sistema é 
não-linear. 
 
b) Neste caso calculam-se: 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 106 
   
    )t(sin)t(xa)t(xa)t(xa)t(xa
e
)t(sin)t(xa)t(xa,)t(sin)t(xa)t(xa
22112211
22221111


S
SS
 
 
e observa-se facilmente que 
      )t(xa)t(xa)t(xa)t(xa 22112211 SSS  
 
e portanto o sistema é linear. 
 
c) No caso onde ,b)t(ax)t(y  para a e b contantes, tem-se 
 
  )t(y)t(yb)t(ax)t(ax)t(x)t(x
b)t(ax)t(y
b)t(ax)t(y
212121
22
11



S
 
 
e, portanto, o sistema é não-linear. 
 
 
Sistemas de modulação em frequência (FM) respondem conforme o caso a) do 
exemplo 4.10 e, portanto, o processo de FM é não-linear. Sistemas de modulação em 
amplitude (AM) respondem conforme o caso b) e são, portanto, lineares. Sistemas 
como o descrito no caso c) são ditos incrementalmente lineares, pois respondem 
linearmente a diferenças na entrada, ou seja, 
  )t(x)t(xa)t(ax)t(ax)t(y)t(y 212121  
 
a diferença na resposta entre duas entradas é uma função linear da diferença das 
entradas. 
 
 
Exemplo 4.11: 
Avaliar se o diferenciador y(t)=dx/dt é um sistema linear. 
 
Solução: Sejam y1(t) e y2(t) as respostas às entradas x1(t) e x2(t), respectivamente, de 
maneira que 
 
dt
)t(dx)t(y 11  e dt
)t(dx)t(y 22  
 
A resposta à entrada a1.x1(t) e a2.x2(t) é 
 
  )t(ya)t(ya
dt
)t(dxa
dt
)t(dxa)t(xa)t(xa
dt
d
2211
2
2
1
12211  
 
o que concorda com (4.6); portanto, o sistema é linear. 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 107
b) Linearidade para sistemas com memória 
 
Para um sistema com memória, a saída não depende apenas da entrada, mas 
também das condições iniciais. Assim, as condições de aditividade e homogeneidade 
devem ser aplicadas também para ascondições iniciais. 
Considere a saída yi(t), i=1, 2, para tt0, devido às condições iniciais vi(t0) e 
entradas xi(t) para tt0. Então para o sistema ser linear devem valer: 
 
0i
0i
0 tt),t(y
tt,)t(x
)t( 



iv (4.7) 
 
Para condições iniciais )t()t( 0201 vv  e entrada )t(x)t(x 21  , deve-se ter a 
saída )t(y)t(y)t(y 21  para tt0 (condição de aditividade) 
 
011
011
0201 tt),t(y)t(y
tt),t(x)t(x
)t()t( 



 vv
 (4.8) 
 
A condição de homogeneidade, para uma constante “a”, fica: 
 
av1 ( )
( ) ,
( ),
t
ax t t t
ay t t t0
1 0
1 0
   (4.9) 
 
Combinando numa só condição, 
 
a
a
a1
1
1
v v1 2( ) ( )
( ) ( ) ,
( ) ( ),
t a t
x t a x t t t
y t a y t t t0 2 0
1 2 2 0
1 2 2 0

 
    (4.10) 
 
Exemplo 4.12: 
Considere o sistema RC série a seguir, com corrente de entrada x(t), e tensão de saída 
y(t). 
x(t)
y(t)
R
C
 
 
Figura 4.4 - Circuito RC série com condição inicial não-nula. 
 
Neste caso , a tensão de saída é )t(vd)(x
C
1)t(Rx)t(y 0c
t
t0
  e, a condição 
inicial é a tensão no capacitor em t=t0. Avaliar se esse sistema é linear. 
 
Solução: Fazendo a análise para entradas a x t1 1( ) e a x t2 2 ( ) e condições iniciais 
a v tc1 01 ( ) e a v tc2 02 ( ), tem-se: 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 108 
)t(vad)(xa
C
1)t(xa.R)t(y
)t(xa
)t(va
01c1
t
t
11111
11
01c1
0


  , 
)t(vad)(xa
C
1)t(xa.R)t(y
)t(xa
)t(va
02c2
t
t
22222
22
02c2
0


  e 
 
    )t(va)t(vad)(xa)(xa
C
1)t(xa)t(xaR)t(y
)t(xa)t(xa
)t(va)t(va
02c201c1
t
t
22112211
2211
02c201c1
0







 
e portanto conclui-se que o sistema é linear. 
 
 
Uma outra condição importante para um sistema ser linear é que, para entrada 
e condições iniciais nulas, a saída deve ser igual a zero: 
 
v( )
( ) ,
( ) ,
t
x t t t
y t t t0
0
0
0
0
0

 
    (4.11) 
 
Assim, o sistema b)t(xa)t(y  é não-linear, pois para x(t)=0, y(t)=b. 
 
Na prática, quase todos os sistemas são algo não-lineares, porém, em muitos 
casos, a não-linearidade tem um efeito tão pequeno que pode ser desprezada. Muito 
frequentemente, o efeito de uma não-linearidade em um componente somente se torna 
evidente quando as entradas são muito grandes. 
 Cita-se também, que qualquer sistema composto apenas por elementos lineares 
também é linear. 
Em sistemas de comunicação, por exemplo, os circuitos normalmente 
utilizados são sistemas lineares, invariantes no tempo, assintoticamente estáveis e sem 
energia armazenada no instante de excitação. Esta hipótese será adotada adiante, a 
menos que se diga o contrário. A partir desse ponto, a abreviatura SLIT, para designar 
sistemas lineares e invariantes no tempo, será utilizado de forma intensiva ao longo do 
texto. 
 
4.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
 
 Considere-se um sistema que seja linear, invariante no tempo (SLIT) e 
assintoticamente estável, isto é, um sistema no qual pode-se aplicar o princípio de 
superposição, não há parâmetros variáveis no tempo e o comportamento natural decai 
com o tempo. Na Fig. 4.5 representa-se o diagrama de blocos desse sistema, onde x(t) 
é o sinal de entrada (ou excitação) e y(t) é o sinal de saída (ou resposta.). 
 
 
H(f)
x(t) y(t)
 
 
Figura 4.5 - Bloco usado para representar um sistema. 
SINAIS E SISTEMAS 
 109
 No caso específico, da entrada exponencial complexa tje)t(x  , define-se a 
resposta em frequência do sistema, H(f), tal que 
 
)t(x).f(H)t(y  (4.12) 
 
 Portanto, o sinal de saída y(t) pode ser obtido, simplesmente, através do 
produto entre H(f) e x(t), realizado no domínio do tempo. Contudo, ressalta-se que 
esse procedimento é válido apenas para a entrada exponencial complexa. Conforme 
será visto adiante, no caso onde x(t) tem forma arbitrária, o cálculo de y(t) no domínio 
do tempo não é tão simples. 
 
 
Exemplo 4.13: Filtro RC passa-baixa 
A rede RC passa-baixa é mostrada na Fig.4.6; x(t) é a tensão de entrada e y(t) é a 
tensão de saída em condições de circuito aberto (sem carga). Obter a resposta em 
frequência desse filtro. 
 
Solução: A equação diferencial dessa rede é 
 
ft2je)t(x)t(y
dt
)t(dyRC  
 
R
C
y(t)x(t)
Figura 4.6 - Filtro passa-baixa RC. 
 
Da teoria de equações diferenciais, sabe-se que a solução geral dessa equação 
é constituída por uma solução complementar/homogênea e uma solução 
particular/forçada. A solução complementar origina-se da análise do sistema 
homogêneo e deve apresentar um comportamento exponencial decrescente, anulando-
se em condição de regime estacionário. Portanto, preocupa-se apenas com a solução 
particular, a qual depende da forma específica da entrada x(t) (ou função forçante). No 
presente caso, sabe-se que tal solução tem forma 
 
ft2jft2j e.Be.A)t(y   
 
onde A e B são coeficientes a determinar. Substituindo-se esta expressão na equação 
diferencial, obtém-se 
 
ft2jft2jft2jft2jft2j e]e.Be.A[]e).f2j(Be).f2j(A.[RC   
 
a partir da qual se extrai que )RCf2j1/(1A  e B=0 . Portanto, 
 
)t(x.
RCf2j1
1e.
RCf2j1
1)t(y pft2j 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 110 
 
Finalmente, obtém-se a resposta em frequência 
RCf2j1
1
)t(x
)t(y)f(H  para 
ft2je)t(x  . 
 
Conforme visto nesse exemplo, em geral, a resposta em frequência é uma 
grandeza complexa e, portanto, pode ser expressa na forma 
 
)]f(Harg[je.)f(H)f(H  (4.13) 
 
onde H(f) é o módulo e arg[H(f)] é o ângulo de fase. No exemplo a seguir, mostra-se 
que H(f) apresenta simetria Hermitiana em relação a f, isto é 
 
)f(Harg.je.)f(H)f(*H)f(H  (4.14) 
 
a qual indica que o gráfico do módulo H(f) tem simetria par e, o da fase arg[H(f)], 
tem simetria ímpar. 
 
Exemplo 4.14: O regime permanente senoidal 
Determinar a resposta de um SLIT à excitação )tcos(A)t(x x0x  . 
 
Solução: Usando-se a identidade de Euler, observa-se que x(t) pode ser escrito como 
 
tjjxtjjx 0x0x e.e
2
Ae.e
2
A)t(x  



 
 
donde percebe-se que cada parcela de x(t) constitui uma exponencial complexa, uma 
na frequência f0 e outra em –f0, cuja resposta pode ser obtida a partir de (4.12) 
 
tjjx
0
tjjx
0
0x0x e.e
2
A)f(He.e
2
A)f(H)t(y  



 
 
 Embora H(f0) seja uma função complexa, em circuitos práticos, y(t) deve ser uma 
função real no tempo pois x(t) é real. Entretanto, isto será verdadeiro se, e somente se, 
H(f) for Hermitiana, conforme (4.14). Assim, substituindo-se (4.13), pode-se obter 
 
]ee[
2
A)f(H)t(y ))f(Hargt(j))f(Hargt(jx0 0x00x0
  
 
e, portanto, usando novamente a identidade de Euler, obtém-se a solução final 
 
)tcos(A)t(y y0y  
 
onde 
 
x0y A.)f(HA  e )]f(H[arg 0xy  
SINAIS E SISTEMAS 
 111
 
 
Apesar de ser um caso particular, o resultado do exemplo anterior, informando 
que a função H(f) é Hermitiana, pode ser estendido para qualquer rede real. 
Demonstrou-se que o sinal de saída de um SLIT, para uma excitação senoidal 
também é senoidal, na mesma frequência de entrada e diferindo somente na amplitude 
e no ângulo de fase, conforme é regularmente estudado em circuitos elétricos. Além 
disso, trabalhando-se apenas com as senóides de entrada e de saída, podem ser 
determinadas as características H(f) e arg[H(f)]. A partir desta propriedade, justifica-
se o procedimento de levantar experimentalmente a resposta em frequência de 
sistemas usando-se sinais senoidais, mesmo que o sistema se destine a operar com 
sinaisde natureza arbitrária. 
Nesta seção estudou-se o procedimento para obter o sinal de saída e a resposta 
em frequência de SLITs quando as entradas são exponenciais complexas ou sinais 
senoidais. Na próxima seção, estuda-se como obter esses sinais de saída para entradas 
arbitrárias. 
 
4.4 RESPOSTA PARA SINAIS ARBITRÁRIOS 
 
Considere agora um sistema linear invariante no tempo (SLIT), com condições 
iniciais nulas em t=0. Aplicando à entrada um impulso unitário, (t), tem-se uma saída 
h(t), conforme o esquema da Fig.4.7: 
 
SLIT
(t) h(t)
 
 
Figura 4.7 - Sistema Linear invariante no Tempo com entrada impulsiva. 
 
A função h(t) é a resposta do sistema a um impulso unitário, ou simplesmente 
resposta impulsiva do sistema, ou seja 
 
 )t()t(h  S (4.15) 
 
Além disso, como o sistema é invariante no tempo 
  )t()t(h  S (4.16) 
 
Como foi visto no Capítulo 1, qualquer sinal x(t) pode ser escrito como a 
seguinte convolução com o impulso: )t()t(x)t(x  
 
A resposta do sistema S{ . } para a entrada x(t) é, portanto, 
    



 



d)t()(x
)t()t(x)t(x)t(y
S
SS
 (4.17) 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 112 
Como o presente sistema é linear, vale o princípio de superposição, e assim, pode-se 
permutar a ordem entre o operador S{ . } e a integral (somatório contínuo) 
 


 d)t()(x)t(y S (4.18) 
 
e portanto, a resposta do SLIT depende somente do conhecimento da resposta 
impulsiva. Por outro lado, aplicando-se (4.16) 
 


 d)t(h)(x)t(y 
 
que é a integral de convolução: 
 
)t(h)t(xd)t(h)(x)t(y  

 (4.19) 
 
Assim, chega-se ao importante resultado que, para se obter a saída de um SLIT 
a uma entrada x(t) qualquer, basta conhecer sua resposta impulsiva h(t) e efetuar a 
convolução indicada em (4.19). Em outras palavras, num SLIT (causal), a resposta 
impulsiva caracteriza completamente o sistema. 
Como a convolução é uma propriedade comutativa, também é possível 
escrever 
 
)t(x)t(hd)t(x)(h)t(y  


 (4.20) 
 
Em geral, a resposta ao degrau é um resultado mais utilizado na prática que a 
resposta impulsiva. Chamando a resposta ao degrau de um SLIT de g(t): 
  





d)t(u)(h
)t(u)t(h)t(h)t(u
)t(u)t(g S
 (4.21) 
 
Considerando agora a derivada da resposta ao degrau: 
 








 


 
d)t(u
dt
d)(h
d)t(u)(h
dt
d
dt
)t(gd
 
 
Como 
d u t
dt
t
( )
( )  , 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 113
)t(h)t()t(hd)t()(h
dt
)t(gd  


 
e portanto 
 
dt
)}t(u{d
dt
)t(gd)t(h S (4.22) 
 
ou seja, pode-se obter a resposta impulsiva a partir da derivada no tempo da resposta 
ao degrau. 
 
4.5 RESPOSTA IMPULSIVA E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
 
Considere novamente um sistema linear invariante no tempo (SLIT), excitado 
por ft2je)t(x  . Aplicando-se (4.20) obtém-se 
 
ft2jf2j)t(f2j e.de).(hde).(h)t(x)t(h)t(y 









   
porém, o termo entre chaves é a transformada de Fourier de h(t), e assim 
 
ft2je)].t(h[)t(y  (4.23) 
 
Por outro lado, discutimos na seção 4.3 que a resposta em frequência H(f) é tal 
que 
 
ft2je).f(H)t(y  (4.24) 
 
Assim, comparando-se as expressões (4.23) com (4.24) conclui-se que a 
resposta em frequência de um SLIT é dada pela transformada de Fourier da sua 
resposta impulsiva h(t): 
 



 dte)t(h)]t(h[)f(H ft2j (4.25) 
 
 Portanto, fica estabelecido mais um par de transformada de Fourier, a saber: 
 
)f(H)t(h  (4.26) 
 
Como a saída y(t) de um SLIT, com entrada x(t) e resposta impulsiva h(t), é 
 
)t(h)t(x)t(y  , 
 
aplicando-se o teorema da convolução discutido no Capítulo 3, tem-se em frequência, 
 
Y f X f H f( ) ( ) ( ) (4.27) 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 114 
informando que o espectro do sinal de saída do SLIT é obtido simplesmente 
multiplicando-se o espectro do sinal de entrada pela sua resposta em frequência. Na 
Fig.4.8 resumem-se os resultados obtidos para o SLIT. 
 
 
h(t)
H(f)
x(t)
X(f)
y(t)=x(t)*h(t)
Y(f)=X(f) H(f)
 
 
 
Figura 4.8 - Relações entre entrada e saída no tempo e frequência de um SLIT. 
 
Para sistemas reais, h(t) é uma função real e H(f) apresenta simetria 
Hermitiana (pois apresenta todas as propriedades da transformada de Fourier 
estudadas no Capítulo 3), ou seja, 
 
)]f(Harg[)]f(Harg[
)f(H)f(H
)f(H)f(H *



 (4.28) 
 
O módulo e a fase do espectro da saída y(t) ficam: 
 
)]f(Harg[)]f(Xarg[)]f(Yarg[
)f(H)f(X)f(Y


 (4.29) 
 
A resposta em frequência de um sistema indica como será modificado o 
espectro de frequência (magnitude e fase) do sinal de entrada. Quando um sinal de 
informação é transmitido de um ponto a outro, o meio de transmissão pode ser visto 
como um sistema com resposta em frequência H(f). Neste caso, é desejável que não 
ocorram modificações no espectro original, ou seja, H(f) não deve distorcer o sinal 
transmitido. Já numa aplicação de filtragem, i.e., onde H(f) é um filtro (passa-baixas, 
por exemplo), é desejável que H(f) corte certas frequências do sinal de entrada com o 
objetivo de reduzir interferências e ruídos. 
 Usando-se o teorema de energia de Parseval, verifica-se que a energia do sinal 
de saída do SLIT é 
 
 df)f(YE 2y (4.30) 
 
A densidade espectral de energia do sinal de saída, Y(f)2, pode ser obtida a partir de 
(4.27) 
 
222 )f(X.)f(H)f(Y  (4.31) 
 
em termos da densidade espectral de energia de entrada, X(f)2. 
 
 Antes de concluir esta seção, cabe aqui uma observação quanto à 
nomenclatura utilizada neste e em outros textos. A resposta em frequência de um 
SINAIS E SISTEMAS 
 115
sistema H(f), como já foi mencionado, indica como o sistema modifica a amplitude e 
a fase de um sinal senoidal na frequência f aplicado à sua entrada. 
 Em alguns textos, H(f) pode ser chamada de função de transferência [3], [4] ou 
função de sistema [9]. No entanto, os autores desta publicação consideram melhor 
reservar a denominação de função de transferência (ou de sistema) a uma 
representação mais abrangente de um determinado sistema. Essa representação mais 
geral, para sistemas de tempo contínuo, é feita por meio da transformada de Laplace, 
na variável complexa f2js  . Num sistema linear e invariante no tempo, a 
entrada e a saída estão relacionadas por 
 
)s(H)s(X)s(Y  , 
 
com )s(X e )s(Y sendo as transformadas de Laplace dos sinais de entrada e saída, 
respectivamente, e )s(H é a função de transferência do sistema. Para o caso particular 
onde f2js  , tem-se a resposta do sistema em regime permanente senoidal, e 
portanto a função de transferência se reduz à resposta em frequência do sistema. 
Em outras palavras, a resposta em frequência H(f), às vezes representada 
também por )j(H  , é um caso particular obtido da função de transferência H(s), a 
partir da qual também se pode obter a resposta transitória do sistema. Em 
comunicações, geralmente tem-se o interesse de se trabalhar no regime permanente 
senoidal, e portanto a resposta em frequência é mais utilizada. Em sistemas de 
controle, pode-se ter um interesse maior em analisar a resposta transitória, para a qual 
a representação do sistema em termos da função de transferência é mais comum. 
 
 
Exemplo 4.15: 
Esboçar o espectro de magnitudes do filtro RC passa-baixa e determinarsua largura de 
banda. 
 
Solução: No exemplo (4.13) foi visto que a equação diferencial deste sistema é 
 
)t(y
dt
)t(dyRC)t(x  
 
Assim, aplicando-se a transformada de Fourier a ambos os lados dessa equação, 
obtém-se 
 
)f(Y)f(Y).f2j(RC)f(X  
 
e daí 
 
fRC2j1
1)f(H  
 
O módulo de H(f) é 
 
2)fRC2(1
1)f(H

 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 116 
sendo que seu gráfico é mostrado na Fig.4.9. 
H(f)
f
0 B-B
1
707,02/1 
Figura 4.9 - Espectro de magnitudes do filtro RC passa-baixa. 
 
 Aplicando-se o critério de largura de banda de –3dB=20.log10[1/ 2 ] , 
determina-se o valor de f =B tal que 2/1)f(H  , obtendo-se 
 
RC2
1B  
 
 
 Aproveitando-se do resultado obtido no exemplo anterior, vamos avaliar a 
ação da filtragem passa-baixa sobre um dado sinal de entrada. Na Fig.4.10 ilustram-se 
três situações nas quais o sinal de entrada é mantido fixo, com largura de banda w, e 
varia-se a largura de banda B do filtro RC passa-baixa. 
O gráfico de Y(f) é obtido a partir de (4.29). No caso a) considera-se B>>w, e 
assim, H(f) varia muito pouco dentro da banda de sinal, isto é, H(f)1 para 0<f<w. 
Aplicando-se (4.29) obtém-se Y(f) = H(f). X(f)  X(f) e, portanto, y(t) x(t), 
notando-se pouca distorção do sinal. No caso c) considera-se que B<<w, e assim, 
Y(f)  H(f). X(0) para 0<f<w e, assim, y(t)  X(0).h(t), sendo a saída semelhante 
à resposta impulsiva. No caso b) obtém-se um comportamento intermediário entre os 
casos anteriores. 
 
X(f)
f
0 w 
X(f)
f
0 w
X(f)
f
0 w
H(f)
f
0
1
 
H(f)
f
0
1
B
H(f)
f
0
1
B
0 w
Y(f)
 
(a) 
f
0 w
Y(f)
 
(b) 
f
0 w
Y(f)
 
(c) 
 
Figura 4.10 - Análise espectral do filtro RC passa-baixa. a) B>>w. b) B  w. c) B<<w. 
SINAIS E SISTEMAS 
 117
 
Exemplo 4.16: 
Esboçar o sinal de saída do filtro RC passa-baixa quando o sinal de entrada for a porta 




 2/trect.A)t(x 
 
Solução: Em primeiro lugar calcula-se a resposta impulsiva desse filtro, invertendo-se 
a transformada de Fourier H(f) obtida no exemplo 4.15. O leitor poderá verificar que 
 
)t(ue
RC
1
fRC2j1
RC.
RC
1)t(h RC/t1  



 
 
sendo os gráficos de x(t) e h(t) mostrados na Fig.4.11. 
 
x(t)
A
0
t
 
(a) 
h(t)
1/RC
0
t
 
(b) 
Figura 4.11 - Sinais para análise do filtro RC passa-baixa. a) Sinal de entrada. b) Resposta 
impusiva. 
 
A partir de (4.19) sabe-se que o sinal de saída desse filtro é dado pela 
convolução entre os sinais mostrados na Fig.4.11. 
 
  d)t(h)(x)t(h*)t(x)t(y 
 
Encoraja-se o leitor a verificar que o resultado dessa convolução é 
 









t,e).e1(A
t0),e1(A
0t,0
)t(y
RC/)t(RC/t
RC/t 
 
 A título de ilustração, apresentam-se na Fig.4.12 alguns gráficos do sinal de 
saída, quando a constante RC é mantida fixa e varia-se a largura da porta . 
 
y(t)
A
0  t
 
(a) 
y(t)
A
0  t
 
(b) 
y(t)
A
0  t
 
(c) 
Figura 4.12 - Análise temporral do filtro RC passa-baixa. a)  >> RC. b)   RC. c)  << RC. 
 
 Pela figura 4.12 a) percebe-se que, quando o valor da largura da porta for  >> 
RC, o sinal de saída mantém alguma semelhança com o sinal de entrada original, 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 118 
apresentando certa distorção nas subida e descida da função porta. Isto ocorre porque 
o conteúdo espectral associado às descontinuidades da função porta é elevado, e o 
filtro as suprime em certa quantidade, tornando o sinal de saída uma versão suavizada 
da entrada. Porém, esta semelhança diminui à medida que a constante RC aumenta, 
distorcendo severamente o sinal, como mostrado nos casos b) e c). 
 
4.5.1 Associação de SLITs 
 
No Capítulo 3, verificou-se que a convolução satisfaz às propriedades 
associativa e distributiva. Quando essas informações são utilizadas juntamente com os 
resultados anteriores, obtém-se algumas regras de associação de SLITs. Em primeiro 
lugar, considere a associação em cascata mostrada na Fig.4.13. 
 
 
h1(t)
H1(f)
h2(t)
H2(f)
x(t)
X(f)
x(t)*h1(t)
X(f).H1(f)
y(t)
Y(f)
 
(a) 
 
h(t)
H(f)
x(t)
X(f)
y(t)
Y(f) 
 
(b) 
 
Figura 4.13 - Associação em cascata de SLITs. a) Diagrama de blocos da associação em cascata. 
 b) Sistema resultante. 
 
O sinal de saída da associação é dado por 
   )t(h)t(h*)t(x)t(y 21  (4.32) 
 
porém, da propriedades associativa da convolução 
     )t(y)t(h)t(h*)t(x)t(h)t(h)t(x 2121  (4.33) 
 
Cujo resultado informa que a conexão em cascata de dois SLITs pode ser substituída 
por um sistema cuja resposta impulsiva é a convolução entre as respostas impulsivas 
individuais. 
 No domínio da frequência, aplica-se o teorema da convolução a (4.33) 
obtendo-se 
 
)f(X).f(H)]f(H).f(H).[f(X)f(Y 21  (4.34) 
 
onde 
 
)f(H).f(H)f(H 21 (4.35) 
 
que informa que a resposta em frequência da associação em cascata é igual ao produto 
das respostas em frequência individuais. 
 
Por outro lado, no caso da associação em paralelo mostrada na Fig.4.14. 
Obtém-se que o sinal de saída será 
 
)t(h)t(x)t(h*)t(x)t(y 21  (4.36) 
SINAIS E SISTEMAS 
 119
 
porém, devido à propriedade distributiva da convolução 
   )t(y)t(h)t(x)t(h*)t(x)t(h)t(h)t(x 2121  (4.37) 
 
Este resultado informa que a associação em paralelo de dois SLITs é equivalente a um 
SLIT cuja resposta impulsiva é a soma das respostas impulsivas individuais. 
 
h1(t)
H1(f)
h2(t)
H2(f)
+
x(t)*h1(t)
x(t)*h2(t)
x(t)
X(f)
y(t)
Y(f)
 
(a) 
 
 
 
h(t)
H(f)
x(t)
X(f)
y(t)
Y(f) 
 
 
(b) 
 
Figura 4.14 - Associação em paralelo de SLITs. a) Diagrama de blocos da associação em paralelo. 
 b) Sistema resultante. 
 
No domínio da frequência, obtém-se 
 
)f(H).f(X)]f(H)f(H).[f(X)f(Y 21  (4.38) 
 
ou seja 
 
)f(H)f(H)f(H 21  (4.39) 
 
a resposta em frequência da associação em pararelo é igual à soma das funções de 
transferência individuais. 
 
 
4.5.2 Resposta impulsiva, estabilidade e causalidade 
 
 Conforme estudado em seções anteriores, a verificação afirmativa de 
estabilidade e causalidade de um dado sistema exige que os testes sejam executados 
para toda e qualquer entrada possível, o que pode dificultar muito esta comprovação 
dependendo da natureza do sistema. Contudo, se for sabido a princípio que o sistema 
é SLIT, esta tarefa pode ser extremamente simplificada. 
De fato, pode-se demonstrar facilmente (vide exercícios) que: “para um 
sistema linear e invariante no tempo ser estável BIBO, é suficiente que a resposta 
impulsiva obedeça à seguinte condição [2]: 
 



dt|)t(h| (4.40) 
 
ou seja, se a resposta impulsiva for absolutamente integrável, o sistema é estável”. 
Isto reduz a análise de estabilidade a uma verificação mais simples. Note que esta 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 120 
também é uma condição suficiente para a existência da transformada de Fourier de 
)t(h . 
Relativamente à causalidade, pode ser demonstrado que: “a condição 
necessária e suficiente para que um SLIT seja causal é que sua resposta impulsiva, 
h(t), seja zero para t<0.” 
 
 Ressalta-se que, a aplicação desta propriedade exige que h(t) possa ser 
determinada ou que seja conhecida previamente. Entretanto, nos casos onde h(t) é de 
difícil obtenção, porém, H(f) é conhecida, pode-se aplicar o critério de Paley-Wiener, 
que estabelece que: “a condição necessária para que um SLIT seja causal é que H(f) 
satisfaçaa 
 
0df
)f2(1
)f(H
2 


ln
 e  df)f(H 2 . ” (4.41) 
 
Observe que este critério não satisfaz à condição de suficiência, uma vez que 
não leva em conta a fase de H(f), mas apenas o módulo H(f). Assim, podemos ter 
valores de H(f) idênticos, porém, com fases diferentes, sendo que um conduz a um 
sistema causal e outro não. 
 
4.6 TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO 
 
Considere o caso em que se deseja transmitir um sinal x(t) de um ponto a 
outro, através de um SLIT, sem distorção. Isto significa que a saída do sistema deve 
ter o mesmo formato da entrada, ou seja: 
 
y t K x t t d( ) ( )  (4.42) 
 
onde K é uma constante e td um atraso. Analisando a expressão no domínio da 
frequência: 
 
Y f K X f e j f td( ) ( )  2 
 
de onde se conclui que a resposta em frequência de um SLIT que não introduz 
distorção é: 
 
H f
Y f
X f
K e j f t d( )
( )
( )
   2 (4.43) 
 
e 
 
dtf2)]f(Harg[
K)f(H


 (4.44) 
 
ou seja, H(f) é um sistema com amplitude constante e fase linear. Na Fig.4.15 estão 
especificadas as características espectrais, de módulo e fase, de um sistema sem 
distorção. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 121
|H(f)|
K
arg[H(f)]
f
f-2 td
 
 
Figura 4.15 - Característica de sistema com fase linear. 
 
Na prática, essas condições não precisam ser satisfeitas em toda a faixa de 
frequência, mas apenas nas faixas de frequência de interesse do sinal de entrada. 
Assim, se X(f) tiver componentes de frequência até 100 kHz, então H(f) deve ter 
módulo constante e fase linear entre 0 e 100 kHz para que não introduza distorção no 
sinal. 
 
 
4.6.1 Distorção linear e não-linear 
 
 Quando o sistema considerado é linear, porém, a condição (4.44) não é 
satisfeita, diz-se que o sinal sofre distorção do tipo linear, a qual pode envolver 
 
a) distorção de amplitude: K)f(H  , ou 
b) distorção de fase: ft2)]f(Harg[ d . 
 
Na distorção linear, podem ocorrer diferenças na composição espectral do 
sinal de saída, Y(f), relativamente à do sinal de entrada, X(f), contudo, se a largura de 
banda de X(f) for Bx , a da saída será By  Bx. 
 
Por outro lado, a distorção não-linear ocorre quando o sistema é não-linear 
como, por exemplo, no sistema y(t)=a1.x(t)+a2.x2(t). Conforme estudado na Capítulo 
3, se x(t) tem largura de banda Bx, então, x2(t) terá largura de banda 2Bx. Ou seja, a 
saída contém componentes espectrais em frequências que não estavam presentes na 
entrada. Além disso, uma vez que os espectros associados a x(t) e x2(t) sejam 
superpostos, torna-se impossível separá-los através de simples filtragem. Outros 
efeitos, como o aparecimento de produtos de intermodulação, costumam acontecer 
quando o sistema é não-linear [3]. 
 
Ao contrário da distorção não-linear, discute-se no próximo item, que a 
distorção linear pode ser compensada. 
 
4.6.2 Equalização de sistemas 
 
 O processo de equalização pode ser aplicado para compensar os efeitos da 
distorção linear, desde que o sistema seja inversível. Na Fig.4.16 ilustra-se o diagrama 
de blocos do processo. 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 122 
H(f) Heq(f) y(t)x(t)
 HT(f)
 
Figura 4.16 - Processo de equalização. 
 
 O procedimento consiste em associar um equalizador, com resposta em 
frequência Heq(f), em cascata com o sistema sob distorção H(f), a fim de que y(t) volte 
a ser uma réplica fiel de x(t). Assim, se HT(f) for a resposta em frequência do sistema 
da associação em cascata, aplica-se (4.35) obtendo-se 
 
)f(H).f(H)f(H eqT  (4.45) 
 
Deseja-se impor um comportamento global sem distorção, ou seja 
 
dft2j
eq e.K)f(H).f(H
 (4.46) 
 
Portanto, Heq(f) deve ser sintetizado de tal forma a satisfazer 
 
1ft2j
ft2j
eq )]f(H[e.K)f(H
e.K)f(H d
d 

 (4.47) 
 
desde que H(f) seja inversível. 
 
Exemplo 4.17: Reflexões por multicaminhos 
Ao longo da propagação de um sinal de TV entre um transmissor e um receptor, por 
exemplo, podem ocorrer reflexões indesejáveis em obstáculos ao longo do percurso, 
fazendo com que o sinal recebido seja do tipo 
 
)tt(xK)tt(xK)t(y 2211  
 
onde x(t) é o sinal de entrada nesse sistema de transmissão, K1 e K2 são constantes 
(associados a atenuações de sinal), t1 é o tempo de propagação do feixe principal (que 
não sofre nenhuma reflexão), e t2>t1 é o retardo de tempo associado à porção de feixe 
secundário (que sofre reflexão e que também incide no receptor). Este fenômeno 
conduz ao conhecido aparecimento de imagens fantasmas no aparelho de TV. Projetar 
um sistema equalizador para que a recepção volte a ser satisfatória. 
 
Solução: A transformada de Fourier de y(t) será )f(X).f(H)f(Y  , onde 
 
)eK1(eK)f(H jd
tj
1
1   
 
sendo =2f, Kd=K2/K1 e =t2-t1>0 (encoraja-se o leitor a verificar isto !). Observe 
que, se =0, então, 1tjd1 e).K1(K)f(H  , e não há distorção. Assim, ocorre 
distorção sempre que 
 A fim de compensar a distorção, deve-se providenciar um equalizador, com 
resposta em frequência, Heq(f), que satisfaça (4.47). Esta equação, por sua vez, conduz 
a 
SINAIS E SISTEMAS 
 123
)f(H
1e.K)f(H
eq
tj d 
 
Assim, comparando-se as duas expressões de H(f) acima, verifica-se que a 
compensação acontecerá desde que K=K1, td=t1 e 
 
 jdeq eK1
1)f(H 
 
Nos casos onde a intensidade da reflexão seja baixa (K2<<K1), ocorre Kd<<1, 
e Heq(f) pode ser expandida numa série binomial: 1a...,aa1
a1
1 2  , 
 
gerando-se 
 
]e.KKe[e
e.Ke.K1)f(H
j2
dd
jj
2j2
d
j
deq




 
 
onde utilizou-se apenas os três primeiros termos da série. Na Fig.4.17 ilustra-se uma 
forma de sintetizar Heq(f) descrito acima, usando-se blocos elementares, cuja estrutura 
é conhecida como filtro ou equalizador transversal. 
 
e-j e-j
-Kd Kd
+ +
DEFASADOR DEFASADOR
 AMPLIFICADOR
 NÃO-INVERSOR
2
 AMPLIFICADOR
 INVERSOR
EQUALIZADOR
Figura 4.17 - Diagrama de blocos do equalizador transversal. 
 
 Neste exemplo, trabalhou-se com apenas três elementos da série de potência. Para 
uma maior equalização, pode-se trabalhar com mais elementos, o que implica em 
acrescentar mais defasadores, amplificadores e somadores no diagrama da Fig.4.17, 
segundo a seguinte relação de recorrência: o próximo amplificador, deve ser inversor 
com ganho 3dK , o próximo tem ganho 4dK , e assim por diante. 
 
 
4.7 FILTROS IDEAIS 
 
 Em seções anteriores já se comentou sobre o papel dos filtros no 
processamento de sinais como, por exemplo, o filtro RC passa-baixa. De modo geral, 
filtros são sistemas (ou redes) que exibem características seletivas em frequência. O 
estudo de filtros deve ser realizado em disciplinas específicas do curso de engenharia 
elétrica, por isso, não serão enfatizados neste texto. 
 Contudo, uma classe de filtros que merece grande atenção é a dos filtros 
ideais, que possuem características de transmissão sem distorção ao longo da banda 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 124 
passante, e resposta nula fora dessa banda. Assim, por exemplo, um filtro passa-baixa 
ideal, com largura de banda B, teria característica espectral conforme a mostrada na 
Fig.4.18. 
 
B-B
K
)f(H
arg[H(f)]0
f
 
 
Figura 4.18 - Característica de magnitude e fase do filtro passa-baixa ideal. 
 
 Este filtro ideal pode ser descrito por 
 
dtje).B2/f(rect.K)f(H  , =2f (4.48) 
 
onde K e td são constantes. 
 Entretanto, vamos mostrar que filtros ideais não são fisicamente realizáveis. 
De fato, se o sinal entrada do filtro for x(t)=(t), pode-se obter a resposta impulsiva 
desse filtro: 
 
)]tt(B2[sinc.KB2)t(hd (4.49) 
 
e que encontra-se desenhada na Fig.4.19 
 
0 td
t
h(t)
2BK
Figura 4.19 - Resposta impulsiva do filtro passa-baixa ideal. 
 
 O sinal de entrada x(t)=(t) obviamente é aplicado em t=0, sendo nulo antes 
desse instante. Contudo, analisando-se a Fig.4.19, observa-se que já existia resposta 
h(t) antes mesmo de t=0, indicando que a resposta do sistema se dá antes da aplicação 
da excitação. Portanto, o filtro passa-baixa ideal é não-causal, i.e., não realizável. Na 
verdade, o filtro ideal não satisfaz o critério de Paley-Wiener, pois H(f)=0 para f>B, 
conforme ilustra a Fig.4.18, e assim, para esses valores de f, ocorre )f(Hln , 
violando (4.41). Portanto, não pode ser causal. 
 Este exemplo ilustra um outro resultado importante oriundo do teorema de 
Paley-Wiener que estabelece que: “um sinal limitado em banda não pode ser 
estritamente limitado no tempo” [6]. Apesar de termos tratado apenas com o filtro 
passa-baixa ideal, o resultado também é válido para os demais tipos de filtros ideais. 
SINAIS E SISTEMAS 
 125
 A rigor, portanto, a idéia de filtro ideal deveria ser abandonada, porém, como 
constitui uma ferramenta muito poderosa para fins de análise matemática, não deve 
ser desprezada. Na verdade, embora sinais causais (limitados no tempo) não sejam 
estritamente limitados em banda, na prática, as amplitudes de seus espectros decaem à 
medida que f aumenta, e as componentes em frequências superiores podem ser 
desprezadas. Assim, basta construir filtros que transmitam as componentes espectrais 
que contenham a maior parte da energia do sinal. 
 Em sistemas de comunicação existe uma transformação linear muito utilizada, 
cujo resultado da transformação ainda se encontra no domínio do tempo, sendo 
denominada de transformada de Hilbert. A próxima seção é dedicada ao estudo dessa 
nova transformada. 
 
4.8 TRANSFORMADA DE HILBERT 
 
 Estuda-se nessa seção a transformada de Hilbert, sob os pontos de vista 
temporal e espectral. Considere-se, inicialmente, um sistema cuja resposta em 
frequência, HQ(t), é definida por: 
 
)fsgn(.j)t(HQ  (4.50) 
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig. 4.20. 
 
HQ(t)
+j
- j
0
f
 
 
Figura 4.20 - Característica espectral do filtro de Hilbert. 
 
 Este sistema, denominado de filtro de Hilbert ou filtro de quadratura, 
basicamente desloca de -900 as fases das componentes de frequências positivas e, de 
+900, as negativas. 
 
Exemplo 4.18: 
O sinal t5cos).5/1(t3cos).3/1(tcos)t(x 000  passa por um filtro de 
Hilbert gerando o sinal y(t). Desenhar os gráficos de x(t) e y(t). 
 
Solução: O sinal de entrada x(t) pode ser rescrito como 
 
2
ee
5
1
2
ee
3
1
2
ee)t(x
t5jt5jt3jt3jtjtj 000000   
 
O filtro de Hilbert acrescenta –900 a todas as frequências positivas, e +900 às 
negativas: 
 
2
ee
5
1
2
ee
3
1
2
ee)t(y
t]905[j]90t5[jt]903[jt]903[jt]90[jt]90[j 00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0  
 
a qual, após algumas manipulações algébricas, conduzem a 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 126 
 
t5sen).5/1(t3sen).3/1(tsen)t(y 000  
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.4.21. 
 
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
x(t)
t
 
(a) 
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
y(t)
 
(b) 
 
Figura 4.21 - Ação do filtro de Hilbet sobre um sinal. a) Sinal de entrada x(t). 
b) Sinal de saída y(t). 
 
 Como se observa através da figura, o filtro de Hilbert introduz uma distorção 
linear sobre o sinal de entrada, fazendo com que a uma onda aproximadamente 
quadrada se transforme numa onda aproximadamente triangular. De fato, pode ser 
mostrado que o filtro de Hilbert introduz picos na sua saída sempre que na entrada 
ocorram descontinuidades do tipo degrau. 
 
 A transformada de Fourier inversa de HQ(f) corresponde à resposta impulsiva 
do filtro de Hilbert, e pode ser obtida recorrendo-se aos teoremas da diferenciação e 
da dualidade. Assim, se X(f) é a transformada de Fourier de x(t), conclui-se que 
 
df
)f(dx
df
)f(dx)]t(tX2j[  (4.51) 
 
a partir da qual obtém-se 
 
]
df
)f(dx[
t2
j)t(X 1 (4.52) 
 
A seguir, efetua-se uma mudança no nome da função temporal X(t) para hQ(t). Assim, 
torna-se natural trocar o nome de x(f) para HQ(f), tal que hQ(t) e HQ(f) formem um par 
de transformadas de Fourier. Portanto, 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 127
]
df
)f(dH
[
t2
j)t(h Q1Q
 (4.53) 
 
 Escrevendo-se HQ(f) mostrada na Fig.4.20, numa forma mais adequada: 
 
j)f(u2j)fsgn(.j)f(HQ  (4.54) 
 
e substituindo-se (4.54) em (4.53), obtém-se 
 
 )t(.2j
t2
j
df
)f(du2j
t2
j)t(h 11Q 


 (4.55) 
 
e daí, finalmente 
 
t
1)t(hQ  (4.56) 
 
é a resposta impulsiva do filtro de Hilbert. 
 Considere-se, agora, a resposta de um sistema cuja resposta impulsiva é hQ(t), 
a uma entrada arbitrária v(t). Se )t(vˆ corresponder a esta saída, sabe-se, da teoria de 
sistemas lineares invariantes no tempo, que 
 
)t(v*)t(h)t(vˆ Q (4.57) 
 
Substituindo-se hQ(t) e explicitando a integral de convolução, obtém-se 
 


 

 dt
)(v1)t(vˆ (4.58) 
 
A integral (4.58) corresponde à transformada de Hilbert ou conjugada 
harmônica da função v(t), e também constitui uma função no domínio do tempo. 
 Com uma mudança de variável, de t- para , (4.58) converte-se em 
 


 

 d
)t(v1)t(vˆ (4.59) 
 
uma forma alternativa para calcular a transformada de Hilbert. 
 
Exemplo 4.19: 
Calcular a transformada de Hilbert da função )tcos(.A)t(v  
 
Solução: Aplicando-se a definição (4.59) e desenvolvendo o seno da soma, 
 


 

 d.
sen).tsen(cos).tcos(A)t(vˆ 
 
Esta integral pode ser avaliada, lembrando-se que 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 128 
  0 2dx.x xsen 
 
e que f(x)=cos(x)/x é uma função ímpar, e assim, sua integral entre - e + é nula. 
Portanto, 
 
)tsen(.A)t(vˆ  
 
 
 A partir desse exemplo, conclui-se que a transformada de Hilbert de uma co-
senóide equivale simplesmente a acrescentar –900 ao seu argumento, isto é: 
 
A cost = A cos(t) = A sen (t) (4.60)
 
Este resultado já devia ser esperado no caso da função senoidal, em vista da 
própria definição da função de resposta em frequência, e da definição de HQ(t), que 
defasa de –900 as componentes de frequência positivas. Entretanto, ressalta-se que 
esta propriedade não é válida para sinais arbitrários, os quais devem obedecer a (4.58) 
ou (4.59). 
 
Exemplo 4.20: 
Calcular a transformada de Hilbert da função )tsen(.A)t(v  
 
Solução: Utilizando-se o resultado do exemplo 4.19, obtém-se 
 
A sent = A cos(t) = - A cos (t)= Acost 
 
 
 A seguir, apresentam-se algumas propriedades da transformada de Hilbert, 
cujas demonstrações são deixadas a cargo do leitor, como exercício: 
 
a) 
 v(t) = - v(t) 
(4.61a)
b) v(t)+.w(t) = v(t) + . w(t) (4.61b)
c) 
vtvt ^ 
(4.61c)
d) 
)t(vˆ
dt
d
dt
)t(vd
n
n
n
n

 
(4.61d)
 
Além dessas, também é importante a propriedade de otogonalidade entre v(t) e 
)t(vˆ , que estabelece que 
 
0dt)t(vˆ).t(v  (4.62 a) 
 
0dt)t(vˆ).t(v
T
1lim
2/T
2/TT
 (4.62 b) 
SINAIS E SISTEMAS 
 129
para sinais de energia e de potência, respectivamente. 
 Pode-se demonstrar também, que a energia pode ser avaliada, 
alternativamente, em termos da transformada de Hilbert:   dt)t(vˆdt)t(vE 22v (4.63) 
 
 Na Tabela 4.1 são apresentados pares de transformada de Hilbert para algumas 
funções consideradas relevantes: 
 
 
Tabela 4.1. Pares de transformada de Hilbert 
 
Função 
 
Transformada de Hilbert 
 
 A 0 
 
t
1 
 )t( 
 )tsen( 0  )tcos( 0  
 )t(sin  
 )t(sinc.t
2
1 2  
 tj 0e  tj 0ej  
(t) 
t
1
 
 
)t( 22 
 
)t(
t
22  
 )1/t(rect 
 
1t2
1t2ln1 

 
 
 
 
 Por fim, cita-se o importante teorema da transformada de Hilbert para o 
produto de duas funções: 
 
“Se v(t) e w(t) são sinais disjuntos em frequência, onde w(t) é passa-baixa e v(t) é 
passa-alta, então 
 
w(t).v(t) )t(vˆ).t(w 
(4.64)
 
 
 
Exemplo 4.21: Transformada de Hilbert do sinal modulado 
Dado w(t) um sinal passa-baixa com W)f)=0 para f > , calcular a transformada de 
Hilbert do sinal modulado )tcos().t(w p , para fp>. 
 
Solução: Na Fig. 4.22 foram esboçados os espectros de w(t) e de cos(pt), 
evidenciando que são disjuntos em frequência desde que fp>. 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 130 
 
f0 
)]t(w[
 
(a) 
f0 fp-fp
)]t[cos( p
 
(b) 
Figura 4.22 – Sinais para o exemplo 4.21. 
 
Assim, aplicando o teorema da transformada de Hilbert do produto 
 
w(t).cos pt = w(t).cos pt = w(t). sen pt
 
para fp>. 
 
 
 
 Na sequência, apresentam-se alguns exercícios para que o leitor possa avaliar o 
aprendizado do assunto deste capítulo. 
 
 
4.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
4.9.1. A Fig.P4.9.1 mostra dois elementos de circuito, um resistor ôhmico no qual 
v(t)=R.i(t), e um capacitor no qual i(t)=C.dv(t)/dt. Sistemas dessa natureza foram 
estudados neste capítulo. Discutir e justificar que o filtro RC passa-baixas é um 
sistema linear. 
 
S{i(t)}
i(t) v(t)
resistor ôhmico 
 
(a) 
S{v(t)}
v(t) i(t)
capacitor 
 
(b) 
Fig. P4.9.1 
 
4.9.2. Demonstrar que a condição necessária e suficiente para que um SLIT seja 
causal é que sua resposta impulsiva, h(t), seja zero para t<0 
 Sugestão: Ver o livro do Roden [6] 
 
4.9.3. Demonstrar que para um sistema linear e invariante no tempo ser estável BIBO, 
é suficiente que a resposta impulsiva obedeça à seguinte condição: 

dt|)t(h|
 
SINAIS E SISTEMAS 
 131
4.9.4. A Fig.P4.9.2 a) ilustra um segurador de ordem sero (zero-order hold), e a Fig. 
P4.9.2 b), o seu diagrama de blocos equivalente do sistema em termos de respostas em 
frequência. 
RETARDO

+ x(t) y(t)
 
 
(a)
H2(f)= e 
- j2 f
+ H3(f)=1/(j2f)
x(t) y(t)
H1(f)=1
 
 
(b)
 
Figura P4.9.4. 
 
a) Mostrar que este sistema é SLIT 
b) Obter a resposta em frequência H(f) do sistema global realizando umaa análise da 
frequência 
c) Obter a resposta impulsiva do sistema global, h(t), e a partir daí a resposta em 
frequência. 
 
4.9.5 Considere um sinal x(t) limitado em B Hz. Este sinal é aplicado a um SLIT com 
módulo e fase como indicados na figura P4.9.5. Determine a saída do sistema y(t) e 
Y(f) (analíticamente e graficamente). Note o efeito da distorção em amplitude causada 
pelo sistema. 
 
 
x(t) y(t)
h(t)
x(t)
X(f) t
-B B f
-B B f
f
| H(f) |
arg{H(f)}
H f a a
f
B
f
B
( ) cos  









0 1 2
 
arg{ ( )}H f t f 2 0
 
 
Figura P4.9.5 
 
4.9.6. Demonstrar as propriedades (6.61 a) à (6.61d). 
 
4.9.7. Obter a transformada de Hilbert de x(t)=A.cos(t+), executando os cálculos 
no domínio da frequência. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS 
 
 132 
4.9.8. Demonstrar o teorema da transformada de Hilbert (4.64) do produto de duas 
funções disjuntas em frequência. 
 
4.9.9. Seja a função retangular )]t(u)t(u[A)t(v  
 
a) Esboçar o gráfico de v(t); 
b) Usando a definição, demonstrar que 
t
tlnA)t(vˆ  ; 
c) Esboçar o gráfico de )t(vˆ . 
 
Sugestão: Ver o livro do Carlson [3]. 
 
 
 
 
 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 133
CAPÍTULO 5: 
 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 
 
 Conforme estudado em capítulos anteriores, um sinal pode ser considerado 
como uma função que contém informação, em geral, a respeito do estado ou 
comportamento de um sistema físico. Embora os sinais possam ser representados de 
diferentes maneiras, em todos os casos a informação está contida na variação de 
algum atributo do sinal (amplitude, fase, etc). Vimos também que sinais de tempo 
contínuo (ou analógicos) são representados em função de uma variável independente 
(tempo) contínua. Por outro lado, sinais de tempo discreto são dependentes de 
variáveis (tempo) que só assumem valores discretos. Ressalta-se, contudo, que na 
maioria das situações, os sinais de tempo discreto constituem representações 
alternativas de sinais de tempo contínuo. De fato, será discutido neste capítulo que, 
sob determinadas restrições, um sinal de tempo contínuo pode ser precisamente 
representado por suas amostras. Afirma-se que todas as suas propriedades e 
informações podem ser preservadas [2], [3]. 
 Este fato é no mínimo curioso, já que o sinal original é definido em todos os 
instantes de tempo, enquanto o sinal amostrado contém somente informações do sinal 
em instantes de tempo discretos. Será visto a seguir, que o sinal original pode ser 
reconstruído a partir da sequência de amostras com tanta exatidão quanto desejado, 
desde que se utilizem taxas de amostragem suficientes. Por exemplo, gráficos obtidos 
a partir de dados experimentais normalmente são registrados como curvas contínuas, 
embora apenas um número finito de pontos tenha sido usado para construí-lo. Fica 
evidente que se estes pontos ou amostras estiverem suficientemente próximos, um 
desenho de curva suave através dos mesmos permite interpolar valores intermediários 
com razoável grau de exatidão. 
 A título de ilustração, cita-se que a amostragem é fundamental para que se 
possa manipular os sinais em computadores, na forma digital. Algumas vantagens que 
podem ser citadas são que o sinal digitalizado pode ser convenientemente armazenado 
em mídias confiáveis, para posterior processamento; em sistemas de telefonia digital, 
pode-se enviar, por um mesmo cabo de comunicação, como uma fibra óptica, 
milhares de canais telefônicos simultaneamente. Os sinais são amostrados e 
intercalados no tempo, numa operação conhecida como multiplexação por divisão no 
tempo (TDM) [3]. O sinal digital pode ser ainda processado de forma a aumentar a 
segurança (criptografia) e reduzir os erros na transmissão, o que seria mais difícil se o 
sinal fosse transmitido diretamente na forma analógica. Nota-se que a amostragem é 
a primeira etapa na utilização desses sistemas e técnicas digitais, e seu correto 
entendimento é fundamental para que o conteúdo da informação original seja 
preservado. 
 
 
5.1. AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
Um exemplo simples de sistema prático de amostragem consiste na operação 
de chaveamento, mostrada na Fig.5.1. 
 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 134 
 
x(t)
t
0 
 
 
(a) 
 
x(t) xa(t)
fa
(b) 
 
xa(t)
t
0

T
 
(c) 
 
Figura 5.1 - Amostragem obtida através de chaveamento. a) Sinal analógico original. b) Sistema de 
chaveamento. c) Sinal amostrado. 
 
 A chave comuta periodicamente entre dois contatos numa taxa de fa=1/T 
Hertz, onde T é o período de amostragem, estabelecendo um contato com o sinal de 
entrada durante um intervalo de tempo  , e permanecendo em contato com o terra no 
restante do período T. Nas seções seguintes, o problema da amostragem por 
chaveamento será analisado em detalhes, antes porém, estuda-se o caso da 
amostragem ideal. 
 
5.1.1 Amostragem ideal 
 
A amostragem ideal refere-se ao processode amostragem no qual a largura das 
amostras são nulas, e tem por objetivo simplicar a análise matemática do problema. 
Na Figura 5.2, ilustra-se um processo de amostragem ideal, onde cada amostra é 
representada por um ponto em negrito. 
Sob certas condições, um determinado sinal é unicamente especificado por 
uma sequência de amostras equiespaçadas. Num caso mais geral, isso pode não ser 
verdade, pois podemos construir sinais distintos representados pela mesma sequência 
de amostra, como ilustrado pelos sinais em linha contínua e tracejada mostrados na 
Fig.5.2. Um dos objetivos deste capítulo, é estabelecer as condições para que essa 
ambiguidade não ocorra. 
 
-2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T ... t
 
Figura 5.2 - Dois sinais diferentes que possuem as mesmas amostras nos instantes t=nT. 
 
 
Se o intervalo de tempo das amostras na Fig.5.1,  , for muito pequeno, pode-
se empregar uma aproximação de primeira ordem, conforme esquematizado na 
Fig.5.3, onde cada pulso tem amplitude constante e na qual o sinal amostrado é: 
 
)nT(x)t(x)nT(x
nTta
  (5.1) 
 
onde n=0, 1, 2, etc, especifica o índice da amostra dentro da sua sequência. 
SINAIS E SISTEMAS 
 135
 
xa(t)
t
n
0 1 2 3 4-1

T
 
Figura 5.3 - Aproximação em primeira ordem para o sinal amostrado. Cada amostra está associada ao 
índice n=0, 1, 2, etc. 
 
 Por outro lado, vale lembrar que cada pulso estreito de largura  pode ser 
escrito como um impulso no limite, e assim: 
 
)nTt(nTtrect1lim)t(
0





  
 
ou seja, na amostragem ideal, cada pulso de amostra pode ser considerada como um 
impulso unitário. O valor da amostra, que antes era a amplitude do pulso, agora deve 
ser substituída pela área do impulso. 
 
Para estabelecer as condições de amostragem eficiente, consideremos a 
amostragem de um sinal x(t) por um trem de impulsos p(t): 
 
x t x t p ta ( ) ( ) ( )  (5.3) 
 
onde 
 



n
T )nTt()]t([rep)t(p (5.4) 
 
e T é o período de amostragem. Substituindo-se (5.4) em (5.3) obtém-se 
 
 






nnn
a )nTt().nT(x)nTt().t(x)nTt().t(x)t(x (5.5) 
 
A fim de observar os sinais x(t), p(t) e xa(t) no domínio do tempo, têm-se os gráficos 
mostrados na Fig.5.4. 
 
Portanto, o sinal amostrado é um trem de impulsos cujas áreas são dadas pelos 
valores de x(t) nos instantes de amostragem, t=nT. Obviamente, qualquer impulso tem 
amplitude infinita, assim, a representação da Fig.5.4 d), na qual as amplitudes dos 
impulsos são moduladas por uma envoltória correspondente a x(t), é meramente 
esquemática e com objetivo pedagógico. 
 
Vamos agora à análise desses sinais no domínio da frequência, utilizando-se 
da transformada de Fourier dos sinais. 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 136 
x(t)
p(t)
xa(t)
t
x(t)
p(t)
t-2T -T 0 T 2T 3T
-2T -T 0 T 2T 3T
4T
t
xa(t)
x(0) x(T)
x(-T) x(2T)
1
(a)
 (b)
 (c)
 (d)
 
 
Figura 5.4 - Sinal amostrado no domínio do tempo. 
 
Analisando os sinais no domínio da frequência, vamos assumir que o sinal x(t) 
tenha banda limitada a B Hz, e que as amostras estejam suficientemente próximas. 
Como no domínio do tempo tem-se a multiplicação entre x(t) e p(t), utilizando a 
propriedade da convolução para (5.3), no domínio da frequência tem-se: 
 
X f X f P fa ( ) ( ) ( )  (5.6) 
 
onde a transformada de Fourier do trem de impulsos (5.4) é: 
 
P f f f nfa a
n
( ) ( )  (5.7) 
 
e 
 
f
Ta
 1 (5.8) 
 
é a frequência de amostragem. 
 
Portanto, substituindo-se (5.7) em (5.6), fica-se com: 
 
X f X f f f nf f X f nfa a a
n
a a
n
( ) ( ) * ( ) ( )     (5.9) 
 
Graficamente têm-se os diagramas, mostrados na Fig.5.5, para X(f), P(f) e 
Xa(f): 
SINAIS E SISTEMAS 
 137
B-B
1
f
X(f)
fa fa fa
fa 2fa
fafa
-fa-2fa f
P(f)
fa
fa 2fa-fa-2fa f
Xa(f)=X(f)*P(f)
......
......
fa+Bfa-B-fa-B -fa+B B-B
 (a)
 (b)
 (c)
 
 
Figura 5.5 - Sinais amostrados. Representação em frequência. a) Espectro do sinal x(t), b) Espectro do 
trem de impulsos. c) Espectro do sinal amostrado. 
 
 
B-B
1
f
X(f)
fa
fa 2fa-fa-2fa f
Xa(f)
......
B-B
fa
fa 2fa-fa-2fa f
Xa(f)
......
B-B
fa
fa 2fa-fa-2fa f
Xa(f)
......
2fa
fa 2fa-fa-2fa f
Xa(f)
......
fa > 2B
fa = 2B
fa < 2B
fa = B
 
Figura 5.6 - Espectros de sinais amostrados com diferentes taxas de amostragem. 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 138 
Nota-se que o espectro do sinal amostrado é composto por cópias do espectro 
de x(t), multiplicado por fa=1/T, e espaçadas de fa. 
 
Observando o gráfico do espectro do sinal amostrado, Xa(f), nota-se que se 
 
f B B ou f Ba a  , 2 
 
então o espectro do sinal x(t) pode ser recuperado passando-se o sinal amostrado por 
um filtro passa-baixas com ganho T e frequência de corte entre B e fa-B, conforme 
mostrado em linha tracejada na Fig.5.5. c). 
 
Já se alguma dessas condições não for satisfeita, ou seja, se o sinal não tiver 
banda limitada ou se as amostras não estiverem suficientemente próximas, não se 
consegue mais recuperar o sinal original. Num sinal com banda limitada e variando-se 
a frequência de amostragem, podem ocorrer as situações mostradas na Fig.5.6, para 
fa>2B, fa=2B, fa<2B e fa=B. 
 
Nota-se que, em situações onde fa2B, como na Figs. 5.6 d) e e), não é mais 
possível recuperar o espectro original devido à sobreposição causada pela 
subamostragem. Este é o efeito de "aliasing", onde frequências do espectro que 
deveriam ser elevadas acabam por aparecer em regiões de frequência mais baixa. 
Portanto, existe uma frequência de amostragem mínima a partir da qual o processo 
toma consistência. Isso dá origem ao consagrado teorema da amostragem, citado a 
seguir. 
 
O Teorema da Amostragem é o seguinte: 
 
Seja um sinal de banda limitada, com X(f)=0 para |f|>B. Então x(t) é 
unicamente determinado por suas amostras x(nT), n=0, 1, 2, 3, ... 
se 
f B onde f
Ta a
 2 1 
 
O sinal x(t) pode ser recuperado passando-se o sinal amostrado por um 
filtro passa-baixas ideal com frequência de corte fc: 
 
B f f Bc a   
 
A frequência fa é a frequência de amostragem ou frequência de 
Nyquist, enquanto que a frequência 2B é comumente chamada de taxa 
de Nyquist. 
 
Os sinais utilizados na prática em geral são limitados no tempo e, portanto, 
não são limitados em frequência, o que à primeira vista impossibilitaria a utilização 
do teorema acima. Quando um tal sinal é amostrado, ocorre uma inevitável 
sobreposição de espectro, como mostrado esquematicamente na Fig.5.7. Apesar de 
não estar explicitado na Fig.5.7 (por motivo exclusivamente didático), nas regiões 
onde ocorre sobreposição de espectro os gráficos deveriam ser somados. Na 
reconstrução, as frequências originalmente fora da banda de mensagem aparecerão na 
saída do filtro, afetando uma porção significativa de espectro do sinal. 
SINAIS E SISTEMAS 
 139
 
0
X(f)
fB-B 
(a) 
0
Xa(f)
fB-B 
(b) 
 
Figura 5.7 - Efeito de aliasing. a) Espectro de sinal. b) Sobreposição espectral. 
 
O que se faz então é a limitação da banda dos sinais antes de se efetuar a 
amostragem, passando-os por um filtro passa-baixas, Haa(f), com frequência de corte 
fa/2, conforme ilustrado na Fig.5.8. Dessa forma, o sinal antes de ser amostrado 
apresenta banda fa/2. Este filtro é chamado de anti-aliasing. 
 
B-B
1
f
X(f)
1
fa 2fa-fa-2fa f
Haa(f)
......
fa/2-fa/2
B-B
1
f
X(f).Haa(f)
fa
fa 2fa-fa-2fa fXa(f)
......
fa/2-fa/2
Haa(f)x(t), X(f)
xa(t), Xa(f)
p(t), P(f)
filtro anti-
aliasing
 
Figura 5.8 - Pré-filtragem do sinal antes de se efetuar a amostragem, para evitar problemas de aliasing. 
 
Um exemplo clássico em que se pode usar o filtro anti-aliasing é no 
processamento de sinal de áudio, os quais têm espectro que se estende desde 20 Hz 
até 20 kHz. Contudo, no caso particular de sinais de voz, sabe-se que se a banda for 
limitada entre 200 Hz a 4 kHz, ainda preserva-se mais de 90% da inteligibilidade da 
mensagem. Portanto, um filtro passa-baixa com B=4 kHz seria suficiente. 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 140 
Assim, se o conteúdo espectral do sinal, acima de uma certa frequência B, for 
reduzido ou sem importância, é aconselhável suprimi-lo. Mesmo numa situação 
genérica, afirma-se que a supressão da porção de espectro para f  B causa menos 
dano ao sinal recuperado, do que se permitir que o aliasing ocorra [3]. 
Como na prática, contudo, não se pode implementar filtros ideais, deve-se 
estabelecer especificações para o filtro de modo a ter-se uma atenuação mínima em 
fa/2, por exemplo igual a 60 dB. Assim, o efeito do aliasing não é eliminado, mas 
bastante reduzido. 
 
5.1.2 Efeito de subamostagem sobre sinais senoidais 
 
Considere o sinal senoidal x t t( ) cos 2 0 , com frequência angular 0=2f0. 
Amostrando este sinal com uma frequência de amostragem fa, vamos observar o que 
acontece com o espectro do sinal amostrado e do sinal reconstruído, segundo os 
diagramas mostrados na Fig.5.9. Nota-se que, à medida que se reduz a frequência de 
amostragem, as imagens em |fa-f0| vão se aproximando-se dos impulsos em f0 . 
Quando fa<2f0, ocorre o efeito de aliasing, onde a linha que deveria representar uma 
frequência (fa-f0)>f0, está sendo vista como uma frequência menor que f0. 
 
fa-fa f0-f0
f0-f0 f
f
fa
fa
-fa
-fa
fa-f0-(fa-f0) fa+f0-(fa+f0)
fa fa fafafafa
11
fa-fa
f
f
f
X(f)
Xa(f)
Xa(f)
Xa(f)
Xa(f)
fafa
fafa
2fa
2fa
fa/2-fa/2
(a)
fa=4f0
(b)
fa=3f0
(c)
fa=1,5f0
(d)
fa=f0
 
Figura 5.9 - Espectro do sinal x(t); Espectro do sinal amostrado com diferentes frequências de 
amostragem. 
SINAIS E SISTEMAS 
 141
Considerando o sinal reconstruído, xr(t), após passar por um filtro passa-baixas 
com frequência de corte fa/2, em cada um dos casos mostrados na Fig.5.9, fica-se 
com (o leitor deve verificar isto em detalhes): 
 
a) x t t x tr ( ) cos ( ) 0 
b) x t t x tr ( ) cos ( ) 0 
c) x t t x tr a( ) cos( ) ( )   0 
d) x t t x tr a( ) cos( ) ( )   0 
 
Nos casos (c) e (d), ocorreu aliasing, e o sinal reconstruído possui frequência mais 
baixa que o sinal original. Em particular, no caso (d), teoricamente ter-se-ia na saída 
reconstruída um sinal DC constante com amplitude 2. 
 
5.2 RECONSTRUÇÃO DO SINAL 
 
Verificou-se que a recuperação do sinal original a partir das suas amostras é 
obtida a partir da filtragem do sinal amostrado por um filtro passa-baixas ideal com 
frequência de corte fa/2. Este filtro de reconstrução, com resposta em frequência Hr(t), 
é esquematizado na Fig.5.10. Analisando esta operação no domínio do tempo, tem-se 
que o sinal reconstruído é obtido a partir da convolução entre o sinal amostrado e a 
resposta impulsiva do filtro de reconstrução. 
 
Filtro de
reconstrução
Hr(f)
hr(t)
Xa(f)
xa(t)
Xr(f)=Xa(f).Hr(f)
xr(t)=xa(t)*hr(t)
sinal
amostrado
sinal
reconstruído
 
 
Figura 5.10 - Reconstrução do sinal amostrado. 
 
Conforme discutido anteriormente, a resposta em frequência do filtro ideal de 
reconstrução deve ser: 
 




2/f|f|,0
2/f|f|,T
)f(H
a
a
r (5.10) 
 
Assim, calculando-se a transformada de Fourier inversa de (5.10), obtém-se que a 
resposta impulsiva do filtro é: 
 
h t sinc f t sinc
t
Tr a
( ) ( )  

 (5.11) 
 
O sinal reconstruído é obtido da convolução entre o sinal amostrado e a 
resposta impulsiva do filtro de reconstrução. 
 
 




n
r
n
rarr )nTt(h).nT(x)nTt().nT(x*)t(h)t(x*)t(h)t(x (5.12) 
 
na qual, substituindo-se (5.11), conduz a 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 142 
  





 
n
a
n
r ntfsinc).nT(xT
nTtsinc).nT(x)t(x (5.13) 
 
O resultado (5.13) será um sinal composto por uma superposição de funções 
sinc deslocadas de nT , onde pode-se observar que: 
 
 A contribuição da função sinc deslocada de nT e calculada no ponto t=nT tem 
valor igual ao da amostra de x(t) em t=nT; 
 A contribuição das funções sinc para um dado valor de n nos instantes kT, kn, é 
igual a zero, pois são os pontos onde a função sinc é igual a zero; 
 Fora dos instantes nT, as infinitas funções sinc se sobrepõem para resultar nos 
valores de x(t) nesses instantes. 
......
-T 0 T 2T 3T 4T 5T ... t
xa(t)
xr(t)
t
 -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T ...
sinc(t/T)
t
 
 
Figura 5.11 - Resposta impulsiva do filtro de reconstrução ideal, sinal amostrado e sinal reconstruído, 
obtido da superposição de infinitas funções sinc. 
 
 Como se observa, as funções sinc se sobrepõem e interpolam os valores de x(t) 
entre os instantes de amostragem. Por esta razão, um filtro passa-baixa de 
reconstrução também é denominado de filtro de interpolação. 
 
5.3 AMOSTRAGEM POR PULSOS 
 
A amostragem por impulsos ideais é bastante útil para se apresentar os 
conceitos fundamentais relacionados com a amostragem de sinais. No entanto, na 
SINAIS E SISTEMAS 
 143
prática não se consegue implementar circuitos que produzam impulsos, mas sim 
pulsos de duração finita. 
Considere um sinal x(t) de banda limitada a B Hz (ou que tenha passado por 
um filtro anti-aliasing) e um trem de pulsos de amostragem com duração  e período 
T=1/fa, como mostrado na Fig.5.12. O sinal amostrado xa(t) pode ser expresso 
matematicamente pela multiplicação dos dois sinais x(t) e p(t) na figura: 
 
x(t)
p(t)
xa(t)

T
t
t
t 
 
Figura 5.12 - Sinal x(t) de banda limitada, trem de pulsos de amostragem e sinal amostrado. 
 
Note que o sinal amostrado é composto por pulsos cujas amplitudes 
acompanham a amplitude de x(t) durante  segundos. Esta é a amostragem sem 
retenção. Analisando os sinais no domínio da frequência, tem-se: 
 
x t X f
p t P f f sinc f k f kf
x t x t p t X f X f P f f sinc f k X f kf
a a a
k
a a a a a
k
( ) ( )
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )

  
     






  
 
 (5.14) 
 
onde os espectros X(f), P(f) e Xa(f) são mostrados na Fig.5.13. 
 
B-B
1
f
X(f)
 fa
fa 2fa-fa-2fa f
P(f)
fa 2fa-fa-2fa f
Xa(f)=X(f)*P(f)
......
......
fa+Bfa-B-fa-B -fa+B B-B
 fa sinc( fa)  fa sinc(2 fa)
 fa
 
Figura 5.13 - Espectro do sinal amostrado com um trem de pulsos. 
 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 144 
 
Observa-se que o resultado, visualizado no domínio da frequência, é muito 
parecido com a amostragem com impulsos, mas onde a área dos impulsos em f=kfa 
não é igual a fa, mas igual a fa sinc(fa k). O sinal original ainda pode ser recuperado 
através de um filtro passa-baixas com frequência de corte e ganho adequados. 
Tem-se outro caso de interesse quando considera-se a amostragem e retenção 
do sinal (sample and hold), como mostrado na Fig.5.14. Neste caso, a amplitude do 
sinal amostrado deve permanecer constante durante uma certa duração de tempo, por 
exemplo para que possa ser utilizado por um conversor A/D [10]. 
 
 
 
xa(t)
t 
 
Figura 5.14 - Amostragem com retenção: a amplitude do pulso permanece constante por umtempo. 
 
 

1
p(t)
t 
Figura 5.15 - Pulso p(t) com amplitude unitária e largura . 
 
Pode-se escrever o sinal amostrado com o auxílio do pulso mostrado na 
Fig.5.15, como: 
 
x t x kT).p t kT)a
k
( ) ( ( 

 (5.15) 
 
onde 
 




 2/trect)t(p (5.16) 
 
A partir da propriedade do impulso unitário, sabe-se que 
 
p t kT) p t t kT)( ( ) (    (5.17) 
 
e assim, fica-se com 
 
  )t(x)t(p)kTt()kT(x)t(p)kTt()t(p)kT(x)t(x
kk
a 




  (5.18) 
 
onde 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 145
x t x kT) t kT) x t t kT)
k k
  ( ) ( ( ( ) (   



  (5.19) 
 
Analisando os sinais (5.16), (5.17) e (5.19) no domínio da frequência: 
 
 





k
aa
k
aa
f
2
2j
a
)kff(Xf)kff(f)f(X)f(X
e)f(sinc)f(P
)f(X).f(P)f(X
 (5.20) 
 
e portanto, o espectro do sinal amostrado (5.18) é 
 
X f f sinc f e X f kfa a
j f
a
k
( ) ( ) ( )    2 2 (5.21) 
 
cujo módulo é 
 
X f f sinc f X f kfa a a
k
( ) ( ) ( )   (5.22) 
 
 Os espectros de X(f), X(f), P(f) e Xa(f) encontram-se desenhados na 
Fig.5.16. 
 
B-B
1
f
X(f)
fa
fa 2fa-fa-2fa f
X(f)
......
fa+Bfa-B-fa-B -fa+B B-B
 | P(f) |
1/1/-1/

f
f
 | Xa(f) |
fa
...
......
...
B-B fa-fa 
 
Figura 5.16 - Espectros considerando amostragem com retenção. 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 146 
Pela figura, observa-se que o espectro do sinal original sofre uma distorção 
causada pela multiplicação pela função sinc(f). Quanto menor o valor de , mais o 
pulso p(t) se aproxima de uma função impulsiva, e o efeito é reduzido. Quanto maior 
o valor de  (<1/fa), maior este efeito. Em particular, se =1/fa, tem-se os espectros: 
B-B
1
f
X(f)
 | P(f) |
1/ = fa-1/

f
f
 | Xa(f) |
fa
...
......
...
B-B fa-fa 
Figura 5.17 - Amostragem com retenção considerando =1/fa. 
 
Nos casos citados, como pode ser observado pelos espectros, continua valendo 
o teorema da amostragem. 
O filtro de reconstrução deve extrair somente a porção do espectro de Xa(f) 
centrado na origem e com f  fa/2, isto é, o termo para k=0 em (5.21): 
 
X f f sinc f e X f f fa a
j f
a( ) ( ) ( ) , | | /   

2
2 2 se não existir aliasing. (5.23) 
 
Contudo, no caso de amostragem com retenção, o filtro de reconstrução, Hr(f), 
deve possuir uma resposta em frequência que compense o efeito de distorção 
introduzida pela função sinc na amostragem. 
 
| Hr(f) |
arg[Hr(f)]
fa/2-fa/2 f
f
1/ fa
 
 
Figura 5.18 - Resposta em frequência do filtro de reconstrução ideal no caso de amostragem com 
retenção. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 147
O sinal reconstruído deve ser obtido por: 
 
X f X f H f X fr a r( ) ( ). ( ) ( )  
 
e portanto 
 
H f
e
f sinc f
f fr
j f
a
a( ) ( )
, | | / 
2
2
2
 
  (5.24) 
 
cujas características de módulo e fase encontram-se mostradas na Fig.5.18. 
 
 
5.4 EXERCÍCIOS 
 
5.4.1. A amostragem corresponde ao processo de representação de um sinal contínuo 
no tempo por meio de amostras (sinal de tempo discreto), e é muito utilizada no 
processamento digital de sinais como, por exemplo, no armazenamento, transmissão e 
tratamento digital de voz e imagem, sistemas digitais de controle, sensoriamento 
remoto e outros. Dado um sinal analógico x(t), o sinal de tempo discreto é obtido 
fazendo-se 
 
)]t([rep).t(x)t(v To  , 
 
onde repTo[(t)] é um trem de impulsos com período T0. Para uma função genérica 
w(t), estritamente limitada no tempo, define-se um trem de funções w(t) com período 
T0, pela relação: 
 
 


n
0To )nTt(w)]t(w[rep . 
 
Mostrar que a Transformada de Fourier do sinal amostrado v(t) é 
 
)]f(X[rep
T
1)f(V
To
1
0
 , 
 
onde X(f) é o espectro de x(t). 
 
5.4.2. Há várias maneiras de se estimar a banda essencial de sinais de banda ilimitada. 
Para um sinal passa-baixas, por exemplo, a banda essencial pode ser escolhida a partir 
da freqüência onde a amplitude do espectro atinge K% do seu valor de pico 
(normalmente em f=0), onde a escolha de K depende da aplicação. Para K=5, 
determine a banda essencial dos sinais: 
 
a) g t e u ta t( ) ( );  a>0 
 
b) g t e a t( ) ;  a>0 
 
Qual a mínima freqüência de amostragem que poderia ser utilizada nos casos acima? 
AMOSTRAGEM DE SINAIS 
 
 148 
5.4.3. Utilizando um filtro de reconstrução ideal, tem-se a perfeita reconstrução do 
sinal amostrado. Na prática, um filtro de reconstrução ideal não é implementável. 
Suponha então que a seguinte função represente a resposta impulsiva de um filtro de 
reconstrução: 
-T T
1
t
haa(t)
 
Figura P5.4.1. 
 
a) Determine a resposta em frequência do filtro (transformada de Fourier de haa(t)). 
b) Mostre que, utilizando este filtro, faz-se a reconstrução do sinal amostrado 
utilizando interpolação linear. 
 
5.4.4. Considere um sinal passa-banda cujo espectro está indicado na Fig.P5.4.4., para 
f1>(f2-f1). Determine se é possível recuperar o sinal original e o filtro de reconstrução 
se forem utilizadas as seguintes frequências de amostragem: 
 
a) fa=3f2 
b) fa=2f2 
c) fa=f2 
d) fa=f2 – f1 
e) fa=f1 
 
f1 f2
f
X(f)
1
0-f1-f2
Figura P5.4.4. 
 
Qual a conclusão a que se chega, em relação à frequência de amostragem e o 
conteúdo de frequência do sinal ? 
SINAIS E SISTEMAS 
 149
CAPÍTULO 6: 
 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 
O conceito de correlação de sinais e sua relação com as densidades espectrais 
de energia e de potência são bastante úteis em comunicações. Na realidade, pode-se 
verificar que as funções de correlação constituem um ponto de vista adicional para 
analisar sinais e sistemas. As correlações se baseiam nos conceitos de médias 
temporais e sinais de energia e de potência. 
Inclusive, os sinais considerados não precisam apresentar transformadas de 
Fourier definidas. Com isso, a densidade espectral permite tratar com uma classe mais 
ampla de modelos de sinais, incluindo-se a classe de sinais aleatórios. Neste capítulo, 
contudo, são desenvolvidos os tópicos sobre correlação de sinais não-aleatórios, com 
o objetivo de fornecer subsídios aos estudos de correlação de sinais aleatórios 
posteriores. Discute-se também, as relações entre correlações de entrada e saída de um 
SLIT e o teorema de Wiener-Kinchine. 
 
6.1. DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTÊNCIA E DE ENERGIA 
 
Em capítulos anteriores discutiu-se que para um sinal de energia, através da 
relação de Parseval, tem-se que: 
 





 df)f(Xdt)t(xE 22x (6.1)
 
a qual é uma quantidade finita e corresponde à energia do sinal. Nota-se que |X(f)|2 
tem unidade de energia/frequência, e portanto é adequado chamar esta função de 
Densidade Espectral de Energia, Gx(f): 
 
2
x )f(X)f(G
 (6.2)
 
pois integrando-se Gx(f), tem-se a energia do sinal x(t), ou Gx(f) representa a 
densidade de energia do sinal para cada frequência. 
 
Exemplo 6.1: 
Considerando )/t(rect.A)/t(.A)t(x  , determinar a sua densidade espectral 
de energia. 
 
Solução: Conforme visto no Capítulo 3, 
 
)f(sinc.A)f(X  
 
e então, como a densidade espectral de energia obedece a (6.2), obtém-se 
 
)f(sinc.A)f(G 222x  
 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 150 
Para um sinal de potência, é razoável falar em termos de Densidade Espectral 
de Potência, Sx(f), que representa a distribuição de potência em função da frequência. 
Assim, se 
 




2/T
2/T
*
Txx
dt)t(x)t(x
T
1limdf)f(SP (6.3) 
 
for finito, Px corresponderá à potência do sinal. Entretanto, ao contrário da densidade 
espectral de energia, Gx, cujo cálculo já encontra-se bem estabelecido através de (6.2), 
a determinação da densidade espectral de potência, Sx, ainda precisa ser mais 
detalhadamente discutida. 
Neste ponto do texto, vamos alertar que, para fins de simplificar a notação, 
usaremos a mesma representação Gx(f), tanto para a densidade espectral de energia 
quanto para a de potência, a menos que se diga o contrário. 
Nas seções seguintes são definidas as funções de correlação cruzada e de 
autocorrelação. Como existe uma distinção entre sinais de potência e de energia, 
estuda-se um caso de cada vez. 
 
 
6.2. CORRELAÇÃO DE SINAIS DE POTÊNCIA 
 
Antes de prosseguir, é conveniente discutir alguns tópicos preliminares como a 
definição de valor médio no tempo e de produto escalar de funções. O leitor poderá 
perceber, que trata-se da generalização dos conceitos vistos no Capítulo 2. 
 
6.2.1. Valor médio temporal 
 
 O valor médio de um sinal de potência é calculado através da seguinte integral: 
 
 2/T 2/TT dt).t(xT1lim)t(x (6.4) 
 
Sendo x(t), x1(t) e x2(t) sinais de potência, pode-se verificar que a operação de 
valor médio temporal possui as seguintes propriedades 
 
a) ** )t(x)t(x  (6.5a) 
b) )t(x)tt(x d  (6.5b) 
c) )t(xa)t(xa)t(xa)t(xa 22112211  (6.5c) 
 
 
6.2.2. Produto escalar 
 
 Se v(t) e w(t) são sinais de potência, define-se o produto escalar de v(t) e w(t) 
pela integral de valor médio: 
 
 2/T 2/T *T* dt).t(w).t(vT1lim)t(w).t(v (6.6) 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 151
a qual fornece uma indicativa sobre o grau de similaridade entre v(t) e w(t), conforme 
já foi detalhadamente discutido no Capítulo 2. 
 Recorrendo-se à desigualdade de Schwarz, da física matemática, verifica-se 
que o produto escalar obedece a [2]-[4]: 
 
wv
2* PP)t(w).t(v  (6.7) 
 
onde a condição de igualdade nesta relação ocorre quando v(t) e w(t) são 
proporcionais, ou seja, v(t) = K.w(t), onde K é constante. Isto informa que o produto 
escalar é máximo quando os sinais são proporcionais ou similares, o que concorda 
com resultados de capítulos anteriores. 
 Em termos de produto escalar, a potência do sinal de potência (6.3) pode ser 
rescrita como: 
 
2*
2/T
2/T
*
Txx
)t(x)t(x)t(xdt)t(x)t(x
T
1limdf)f(GP  



 (6.8) 
 
6.2.3. Função de Correlação cruzada 
 
 A correlação cruzada dos sinais v(t) e w(t) é definida através do seguinte 
produto escalar: 
 
)t(w).t(v)t(w).t(v)(R **vw  (6.9) 
 
resultando numa função de , uma vez que a variável muda t desaparece da análise 
após o cálculo da integral de média temporal. 
 Ao contrário do produto escalar simples, a correlação cruzada tem um grau a 
mais de utilidade, pois informa sobre similaridades (ou diferenças) entre os sinais v(t) 
e w(t-), sendo este último deslocado continuamente no tempo. 
 A seguir, são apresentadas algumas propriedades importantes da correlação 
cruzada: 
 
a) wv
2
vw PP)(R  (6.10a) 
b) )(R)(R *vwwv  (6.10b) 
 
Em particular, o resultado em b) informa que as funções Rvw e Rwv não são iguais. 
 
 
6.2.4. Função de autocorrelação 
 
 A função de autocorrelação do sinal v(t) ou w(t) é definida como um caso 
particular da correlação cruzada, quando v(t)=w(t), isto é 
 
)t(v).t(v)t(v).t(v)(R)(R **vvv  (6.11) 
 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 152 
e informa sobre a variação temporal de v(t), pelo menos em termos de média 
temporal. Assim, se )(R v  é elevado, pode-se inferir que v(t-) é bastante similar a 
v(t), para um dado valor de . 
 Algumas propriedades importantes da autocorrelação são: 
 
a) vv P)0(R  (6.12a) 
b) )0(R)(R vv  (6.12b) 
c) )(R)(R *vv  (6.12c) 
d) Se v(t) é real, então Rv() é real e par (6.12d) 
e) Se v(t) é periódica, então Rv() é periódica. (6.12e) 
 
A propriedade a) informa que o valor da autocorrelação na origem corresponde à 
potência do sinal. A propriedade b) implica em que a função de autocorrelação 
apresenta seu valor máximo na origem. A propriedade c) informa que a 
autocorrelação exibe simetria Hermitiana. 
 
 Uma propriedade adicional, e que também tem grande importância, refere-se à 
autocorrelação da superposição de duas funções. Assim, se z(t) for 
 
)t(w)t(v)t(z  (6.13) 
 
então, sua autocorrelação obedece a 
 
)](R)(R[)(R)(R)(R wvvwwvz  (6.14) 
 
cuja demonstração deixa-se a cargo do leitor [3]. 
 No caso em que v(t) e w(t) são descorrelacionados para todo , ou seja, quando 
Rvw()=Rwv()=0, a propriedade (6.14) conduz a 
 
)(R)(R)(R wvz  (6.15) 
 
Neste caso, fazendo =0 e usando (6.12 a), obtém-se 
 
wvz PPP  (6.16) 
 
Isto permite concluir que numa superposição de sinais v(t) e w(t), a superposição de 
potências só ocorre para sinais descorrelacionados. 
 
Exemplo 6.2: 
Considere-se os sinais tjv veC)t(v
 e tjw weC)t(  , onde Cv e Cw são constantes 
complexas. Calcular a correlação cruzada de v(t) e w(t) e a autocorrelação de v(t). 
 
Solução: Aplicando-se (6.9), calcula-se 
 
tjtjj*
wv
*)t(j
w
tj
vvw
wvwwv e.eeCC]eC].[eC[)(R   
 
SINAIS E SISTEMAS 
 153
Antes de prosseguir, vamos avaliar a seguinte relação de ortogonalidade entre 
fasores: 
 

 


  2 T)(sinclimdt.eT1lime.e wvT
2/T
2/T
t)(j
T
tjtj wvwv 
 
a partir da qual se conclui que 
 




vw
vwtjtj
se,1
se,0
e.e wv 
 
Substituindo-se essa informação na expressão para Rvw() acima, conclui-se que 
 



 
vw
j*
wv
vw
vw se,eCC
se,0
)(R
v
 
 
Isto evidencia que os fasores são descorrelacionados, a menos que tenham 
mesma frequência. 
A função de autocorrelação de v(t) pode ser deduzida desta última: 
 
  vvv j2v*)t(jvtjvv eC]eC].[eC[)(R 
 
Exemplo 6.3: 
Calcular a função autocorrelação do sinal co-senoidal: )tcos(.A)t(z 0  . 
 
Solução: Vamos rescrever z(t) na forma de somas de funções exponenciais complexas 
 
)t(w)t(vee
2
Aee
2
A)t(z tjjtjj 00   
 
Então, podemos aplicar os resultados do exemplo 6.2 para avaliar a autocorrelação de 
z(t). Como vw, as correlações cruzadas Rvw()=Rwv()=0. Assim, aplicando-se os 
resultados obtidos para autocorrelação de exponenciais complexas (fasores): 
 
tjjj
2
tjjj
2
wvvwwvz
00 eee
4
Aeee
4
A)(R)(R)(R)(R)(R   
 0
2
z cos2
A)(R 
 
que constitui uma função real, par e periódica. A potência contida em z(t) é 
2/A)0(RP 2zz  , como já era esperado. 
 
 
6.3. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE ENERGIA 
 
 No caso de sinais de energia, o valor médio do sinal como definido em (6.4) 
resulta nulo, e a definição de produto escalar deve ser alterada. Assim, define-se o 
produto escalar entre os sinais de energia v(t) e w(t) como 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 154 
 dt).t(w).t(v)t(w).t(v ** (6.17) 
 
 Isto posto, definem-se as funções de correlação cruzada e de autocorrelação 
entre os sinais de energia, v(t) e w(t), de forma similar ao caso de sinais de potência: 
 
  dt).t(w).t(v)t(w).t(v)(R **vw (6.18a) 
  dt).t(v).t(v)t(v).t(v)(R)(R **vvv (6.18b) 
 
 Como a operação de integração  dt).t(v apresenta as mesmas propriedades 
matemáticas da operação de média temporal em (6.5), todasas propriedades 
deduzidas para a correlação de sinais de potência se mantêm, bastando substituir a 
potência Pv pela energia Ev. 
 
a) wv
2
vw EE)(R  (6.19a) 
b) )(R)(R *vwwv  (6.19b) 
c) vv E)0(R  (6.19c) 
d) )0(R)(R vv  (6.19d) 
e) )(R)(R *vv  (6.19e) 
f) Se v(t) é real, então Rv() é real e par (6.19f) 
c) )](R)(R[)(R)(R)(R wvvwwvz  (6.19g) 
 
Em particular, o caso da propriedade (6.19c), permite concluir que a área sob a 
curva de Gv(f), a qual sabe-se que corresponde à energia Ev, também corresponde a 
Rv(0). 
Algumas propriedades exclusivas podem ser citadas para os sinais de energia, 
comparando-se a função de correlação com a operação de convolução. Partindo-se de 
(6.18 a), e fazendo-se as trocas: z(t)=w*(-t) e t=, resulta 
 
)(z*)(vd).(z).(v)(R vw   (6.20) 
 
já que a integral acima corresponde à convolução entre v(t) e z(t). Portanto, 
apresentam-se as seguintes propriedades adicionais, válidas para sinais de energia: 
 
)(w*)(v)(R *vw  (6.21a) 
)(v*)(v)(R *v  (6.21b) 
 
 Além disso, recorrendo-se ao teorema de Parseval, mostra-se também: 
 
df.)f(W).f(Vdt.)t(w).t(v)0(R **vw    (6.22a) 
df.)f(Vdt.)t(vE)0(R
22
vv    (6.22b) 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 155
 Inserindo-se as informações Ev=Rv(0) e Ew=Rw(0) em (6.19 a), pode-se obter 
versão do teorema de Schwarz no domínio da frequência: 
 
     df)f(W.df)f(Vdf.)f(W).f(V 22
2
* (6.23) 
 
A condição de igualdade na relação acima só ocorre quando V(f) e W(f) forem 
proporcionais. Este teorema é muito útil no estudo de filtros casados em 
comunicações digitais. 
 
6.4. CORRELAÇÃO ENTRE ENTRADA E SAÍDA EM SLIT 
 
Os resultados que serão apresentados nesta seção serão válidos tanto para 
sinais de energia quanto de potência. Porém, pela facilidade de notação, algumas 
demonstrações serão executadas apenas para o caso de sinais de energia. 
Seja um sistema linear, invariante no tempo (SLIT) e estável, com entrada x(t), 
saída y(t) e resposta impulsiva h(t), como aquele ilustrado na Fig.6.1. 
 
 
h(t)
H(f)
x(t)
X(f)
y(t)=x(t)*h(t)
Y(f)=X(f) H(f)
 
 
Figura 6.1 - Relações entre entrada e saída de um SLIT. 
 
Empregando-se resultados do Capítulo 4, sobre análise de SLITs, calcula-se a 
densidade espectral de energia/potência associada ao sinal de saída 
 
2
x
2222
y )f(H)f(G)f(H)f(X)f(H)f(X)f(Y)f(G  (6.24) 
 
ou seja, a energia/potência do sinal de saída depende da energia do sinal de entrada e 
da resposta em frequência do sistema. 
Portanto as relações de energia e potência num SLIT podem ser representadas 
como na Fig.6.2: 
 
H(f)
X(f)
Gx(f)
Y(f)=X(f).H(f)
Gy(f)=Gx(f).|H(f)|2
 
 
Figura 6.2 - Relações de energia e potência entre entrada e saída em frequência de um SLIT. 
 
Aplicando-se a propriedade descrita em (6.19c) para o sinal y(t), e contando 
com o auxílio de (6.24) obtém-se que 
 
   df).f(G.)f(Hdf).f(G)0(R x2yy (6.25) 
 
Nos itens a seguir, procede-se à análise temporal das correlações de entrada e 
saída do SLIT, conforme esquematizado na Fig.6.3. Vamos assumir que x(t) e y(t) são 
sinais de energia, tal que possamos usar a notação compacta de produto escalar (6.17). 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 156 
A condição de sistema estável assegura que y(t) será do mesmo tipo que x(t), ou seja, 
outro sinal de energia. Conforme já foi observado, os resultados obtidos também 
poderão ser aplicados para sinais de potência. 
 
 
h(t)
H(f)
x(t)
Rx()
 y(t)
 Ry()
 
 
Figura 6.3 - Relação entre autocorrelação de entrada e saída do SLIT. 
 
Vamos, então, proceder ao cálculo da correlação cruzada de x(t) e y(t): 
 
)t(x)].t(x*)t(h[)t(x).t(y)(R **yx  (6.26) 
 
Substituindo-se a integral de convolução em (6.26) obtém-se 
 
   d.)t(x).t(x).(h)t(x.d).t(x).(h)(R **yx (6.27) 
 
Como )t(v)t(v  para qualquer o produto escalar em (6.27) torna-se 
 
)(R)](t[x).t(x)t(x).t(x)t(x).t(x x
***  
 (6.28) 
e portanto 
 
  d.)(R).(h)(R xyx (6.29) 
 
a qual corresponde a uma integral de convolução na variável , isto é 
 
)(R*)(h)(R xyx  (6.30) 
 
Ressalta-se que uma convolução no domínio- é executada de forma similar 
àquelas para o domínio-t, bem como, goza de todas as propriedades dessas últimas. 
 
 Procedendo de forma semelhante, mostra-se que 
 
  d.)t(x).t(y)(h)t(y).t(y)(R ***y (6.31) 
 
donde deduz-se também que 
 
)(R)t(x).t(y yx
*  (6.32) 
 
Efetuando-se a mudança de variável: , obtém-se que (6.31) e (6.32) 
conduzem a 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 157
  d).(R).(h)(R yx*y (6.33) 
 
ou seja 
 
)(R*)(h)(R yx
*
y  (6.34) 
 
 Portanto, substituindo-se (6.30) em (6.34), tem-se 
 
)(R*)(h*)(h)(R x
*
y  (6.35) 
 
que estabelece a relação entre as autocorrelações de entrada e saída. 
 Na próxima seção, investiga-se um teorema de extrema importância na análise 
de sinais, em particular, no estudo de ruído, denominado de teorema de Wiener-
Kinchine. 
 
6.5 O TEOREMA DE WIENER-KINCHINE 
 
 O teorema de Wiener-Kinchine estabelece uma importante relação entre a 
densidade espectral de energia/potência e a função de autocorrelação. Objetivamente, 
o teorema estabelece que: 
 
   de).(R)](R[)f(G f2jvvv (6.36a) 
 
e 
 
   dfe).f(G)]f(G[)(R f2jvv1v (6.36b) 
 
onde ].[ atua como a transformada de Fourier aplicada a funções no domínio-. Ou 
seja, o teorema estabelece mais um par de transformada de Fourier: 
 
)f(G)(R vv  (6.37) 
 
 A demonstração do teorema pode ser realizada rapidamente, para sinais de 
energia. Assim, vamos avaliar a transformada de Fourier inversa: 
        )f(V)f(V)f(V)f(V)f(G *11*1v1   (6.38) 
 
onde se empregou (6.2) e o teorema da convolução. A partir das propriedades da 
transformada de Fourier, (6.38) se converte em 
 
)(Rd)(v)(v)(v)(v)}f(G{ vv
1  

 (6.39) 
 
onde a integral de convolução também corresponde à definição de autocorrelação, o 
que conclui a demonstração. 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 158 
 
Exemplo 6.4: 
Aplicar o teorema de Wiener-Kinchine para obter o espectro de potência de 
)tcos(.A)t(z 0  . 
Solução: Conforme foi visto no exemplo 6.2,  0
2
z cos2
A)(R , e assim 
 
)ff(
2
A)ff(
2
Acos
2
A)f(G 0
2
0
2
0
2
v 


   
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.6.4. Este resultado obviamente já era 
esperado. 
 
A2/4A2/4
Gz(f)
f
0 f0-f0
Figura 6.4 - Espectro de potência do sinal z(t). 
 
 
 
6.6. EXERCÍCIOS 
 
6.6.1. Prove (6.10 b). 
 
6.6.2 Demonstrar a equação (6.14) do texto. 
 Sugestão: Ver o livro do Carlson [3]. 
 
6.6.3. Use (6.2) para calcular a densidade espectral, a autocorrelação e a energia de 
sinal quando )]tt.(W2[sinc.A)t(x d 
 
6.6.4. Considere o filtro “comb” (pente) mostrado na Fig. P6.6.4. Pede-se determinar 
a) Sua resposta impulsiva h(t) 
b) Sua resposta em frequência H(f) 
c) Esboçar o gráfico de 2)f(H 
d) A expressão da autocorrelação de saída em função da autocorrelação de entrada 
Rx() usando (6.35) 
e) A expressão da energia/potência de saída. 
 
+
atraso 
+-
x(t) y(t)
 
 
Figura P6.6.4. 
SINAIS E SISTEMAS 
 159
 
6.6.5. Se )t(gA)t(x  , onde a média temporal de g(t) é zero, ou seja, 
  2/T 2/TT 0dt).t(gT1lim)t(g , então: 
 
a) O sinal x(t) é um sinal de energia ou de potência? 
b) Calcule a função de autocorrelação )(R x  ; 
c) Calcule a densidade espectral de energia/potência de )f(G x ; 
d) A energia/potência de x(t). 
 
6.6.6. Obter a densidade espectral, a autocorrelação e a potência de sinal quando 
)t2cos(A)tcos(A)t(x 202101  . 
 
6.6.7. Um sinal binário aleatório x(t) é mostrado na Fig. P6.6.7. Um bit 1 é 
transmitido por um pulso p(t), que tem amplitude A e largura T0/2, e, um bit 0 é 
transmitido na ausência de pulso. Os bits 1’s e 0’s ocorrem aleatoriamente, e a 
ocorrência de 1 e 0 é igualmente provável. Determinar Rx() e a densidade espectral 
de potência Gx(f) se um dígito binário é transmitido a cada T0 segundos. 
 
1 11 1 1 10 00
t
0
T0 T0/2
Figura P6.6.7. 
 
6.6.8. Obter o valor quadrático médio da tensão de saída y(t) da rede RC mostrada na 
Fig.P6.6.8. se a tensão de entrada tem uma densidade espectral de potência Gx(f) dada 
por: 
 
a) Gx(f)=K; 
b) Gx(f)=rect(f/) 
c) Gx(f)=[ff]] 
 
Em cada caso, identifique a natureza do sinal de entrada e calcule a potência (valor 
quadrático médio) do sinal de entrada. 
 
2 
2 1 Fx(t) y(t)
 
 
Figura P6.6.8. 
 
CORRELAÇÃO DE SINAIS 
 
 160 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 161
 
Bibliografia: 
 
[1] Schwartz, M. & Shaw, L., Signal Processing: Discrete Spectral Analysis, 
 Detection, and Estimation, McGraw-Hill, 1975. 
 
[2] Oppenheim, A.V. , Willsky, A.S. and Young, I.T., Signals and Systems, 
 Prentice- Hall Signal Processing Series, 1983. 
 
[3] Carlson, A.B., Communication Systems – An Introduction to Signal and Noise 
 in Electrical Communication, Third edition, McGraw-Hill, 1986. 
 
[4] Lathi, B.P., Sistemas de Comunicação, Editora Guanabara, 1979 
 
[5] Close, C.M., Circuitos Lineares, vol.1, Ed da Universidade de São Paulo e 
 Livros Técnicos e Científicos Ed. S.A., 1975. 
 
[6] Roden, M.S., Analog and Digital Communication Systems, Fourth edition, 
 Prentice Hall, 1996. 
 
[7] Spiegel, M.R., Análise de Fourier, McGraw-Hill, 1976. 
 
[8] Glisson, T.H., Introduction to System Analysis, McGraw-Hill, 1985. 
 
[9] Papoulis, A., Signal Analysis, McGraw-Hill International Editions, 1984. 
 
[10] Oppenheim, A.V. & Schafer, R.W., Discrete-Time Signal Processing, Second 
 Edition, Prentice Hall, USA, 1999.