Exercício 5. Mostre que a aplicação fy(x) = 〈x, y〉 é linear e contínua, para cada y ∈ E fixado, e que ‖fy‖∞ = sup ‖x‖≤1 |fy(x)| = ‖y‖.

Para mostrar que a aplicação \( f_y(x) = \langle x, y \rangle \) é linear e contínua, siga os passos abaixo: 1. Linearidade: - Para \( x_1, x_2 \in E \) e \( \alpha \in \mathbb{R} \): \[ f_y(x_1 + x_2) = \langle x_1 + x_2, y \rangle = \langle x_1, y \rangle + \langle x_2, y \rangle = f_y(x_1) + f_y(x_2) \] \[ f_y(\alpha x) = \langle \alpha x, y \rangle = \alpha \langle x, y \rangle = \alpha f_y(x) \] - Portanto, \( f_y \) é linear. 2. Continuidade: - A continuidade de \( f_y \) segue do fato de que é uma aplicação linear em um espaço normado. Para mostrar isso, considere: \[ |f_y(x)| = |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\| \quad (\text{usando a desigualdade Cauchy-Schwarz}) \] - Assim, se \( \|x\| \leq 1 \), temos \( |f_y(x)| \leq \|y\| \). 3. Cálculo de \( \|f_y\|_\infty \): - Precisamos calcular \( \|f_y\|_\infty = \sup_{\|x\| \leq 1} |f_y(x)| \): \[ \|f_y\|_\infty = \sup_{\|x\| \leq 1} |\langle x, y \rangle| \leq \|y\| \] - Para mostrar que \( \|f_y\|_\infty \geq \|y\| \), escolha \( x = \frac{y}{\|y\|} \) (se \( y \neq 0 \)): \[ \|x\| = 1 \quad \text{e} \quad f_y(x) = \langle \frac{y}{\|y\|}, y \rangle = \|y\| \] - Portanto, \( \|f_y\|_\infty = \|y\| \). Assim, concluímos que \( f_y \) é linear, contínua e \( \|f_y\|_\infty = \|y\| \).