Exercício 16. Seja BC(]0,+∞[) o espaço linear das funções limitadas na semi-reta ]0,+∞[, equipado com a norma uniforme. Defina T ∈ L(BC(]0,+∞[)) por: (Tx)(t) = 1/t ∫ t 0 x(τ) dτ. Mostre que T é um operador linear limitado e calcule a sua norma.

Question

Exercício 16. Seja BC(]0,+∞[) o espaço linear das funções limitadas na semi-reta ]0,+∞[, equipado com a norma uniforme. Defina T ∈ L(BC(]0,+∞[)) po...

Ed · Answer

Para mostrar que $ T $ é um operador linear, precisamos verificar duas propriedades:

1. **Aditividade**: Para $ x, y \in BC(]0,+\infty[) $ e $ t > 0 $:
   $$
   T(x+y)(t) = \frac{1}{t} \int_0^t (x(\tau) + y(\tau)) d\tau = \frac{1}{t} \int_0^t x(\tau) d\tau + \frac{1}{t} \int_0^t y(\tau) d\tau = Tx(t) + Ty(t).
   $$

2. **Homogeneidade**: Para $ \alpha \in \mathbb{R} $ e $ x \in BC(]0,+\infty[) $:
   $$
   T(\alpha x)(t) = \frac{1}{t} \int_0^t \alpha x(\tau) d\tau = \alpha \frac{1}{t} \int_0^t x(\tau) d\tau = \alpha Tx(t).
   $$

Assim, $ T $ é linear.

Agora, para mostrar que $ T $ é um operador limitado, precisamos calcular a norma de $ T $. A norma do operador $ T $ é dada por:
$$
\|T\| = \sup_{\|x\|_\infty \leq 1} \|Tx\|_\infty.
$$

Calculando $ \|Tx\|_\infty $:
$$
\|Tx\|_\infty = \sup_{t > 0} |Tx(t)| = \sup_{t > 0} \left| \frac{1}{t} \int_0^t x(\tau) d\tau \right|.
$$
Como $ |x(\tau)| \leq 1 $ para $ \|x\|_\infty \leq 1 $, temos:
$$
\left| \frac{1}{t} \int_0^t x(\tau) d\tau \right| \leq \frac{1}{t} \int_0^t |x(\tau)| d\tau \leq \frac{1}{t} \int_0^t 1 d\tau = \frac{t}{t} = 1.
$$
Portanto, $ \|Tx\|_\infty \leq 1 $ para $ \|x\|_\infty \leq 1 $, o que implica que $ \|T\| \leq 1 $.

Para mostrar que $ \|T\| = 1 $, considere $ x(t) = 1 $ para $ t > 0 $, que tem $ \|x\|_\infty = 1 $:
$$
Tx(t) = \frac{1}{t} \int_0^t 1 d\tau = \frac{t}{t} = 1.
$$
Assim, $ \|Tx\|_\infty = 1 $, o que mostra que $ \|T\| = 1 $.

Portanto, $ T $ é um operador linear limitado e sua norma é $ \|T\| = 1 $.

Análise Matemática

solucoes_analise_funcional_2015

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

solucoes_analise_funcional_2015

Exercício 2. Se X é um espaço normado sobre R, prove: (a) A função ‖ · ‖ : X→ [0,+∞[ é contínua. (b) A operação adição definida sobre X× X é contínua. (c) A operação multiplicação por escalar definida sobre X×R é contínua.

Exercício 5. Mostre que a aplicação fy(x) = 〈x, y〉 é linear e contínua, para cada y ∈ E fixado, e que ‖fy‖∞ = sup ‖x‖≤1 |fy(x)| = ‖y‖.

Exercício 6. Sejam (xn)n≥0 e (yn)n≥0 duas sequências convergentes, xn → x, yn → y, de um espaço pré-Hilbertiano E. Mostre que 〈xn, yn〉→ 〈x, y〉.

Exercício 17. Seja P([0, 1]) o conjunto dos polinômios no intervalo [0, 1] equipado com a norma uniforme: ‖x‖∞ = max{|x(t)| | t ∈ [0, 1]}. Para x ∈ P([0, 1]), seja: (Tx)(t) = x ′(t) = dx(t)/dt. Mostre que T é um operador linear não limitado.

Exercício 18. Seja X um espaço normado e F um subespaço fechado de X. Defina a função quociente: q : X→ X/F q(x) = [x] = x+ F. Mostre que q é um operador limitado cuja norma é ‖q‖ = 1.

Exercício 19. Mostre que: se Y é um espaço de Banach, então (B(X, Y), ‖ · ‖∞) é um espaço de Banach.

Mais conteúdos dessa disciplina