Exercício 6. Sejam (xn)n≥0 e (yn)n≥0 duas sequências convergentes, xn → x, yn → y, de um espaço pré-Hilbertiano E. Mostre que 〈xn, yn〉→ 〈x, y〉.

Para mostrar que \( \langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \) em um espaço pré-Hilbertiano, siga os passos abaixo: 1. Convergência das Sequências: Sabemos que \( x_n \to x \) e \( y_n \to y \). Isso significa que para todo \( \epsilon > 0 \), existe \( N_1 \) tal que, para \( n \geq N_1 \), temos \( \|x_n - x\| < \epsilon \) e existe \( N_2 \) tal que, para \( n \geq N_2 \), temos \( \|y_n - y\| < \epsilon \). 2. Escolha de \( N \): Defina \( N = \max(N_1, N_2) \). Assim, para \( n \geq N \), temos tanto \( \|x_n - x\| < \epsilon \) quanto \( \|y_n - y\| < \epsilon \). 3. Usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz: A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos: \[ |\langle x_n, y_n \rangle - \langle x, y \rangle| \leq |\langle x_n, y_n \rangle - \langle x_n, y \rangle| + |\langle x_n, y \rangle - \langle x, y \rangle| \] 4. Estimando os Termos: - Para o primeiro termo: \[ |\langle x_n, y_n \rangle - \langle x_n, y \rangle| \leq \|x_n\| \|y_n - y\| \to 0 \text{ quando } n \to \infty \] - Para o segundo termo: \[ |\langle x_n, y \rangle - \langle x, y \rangle| \leq \|y\| \|x_n - x\| \to 0 \text{ quando } n \to \infty \] 5. Conclusão: Portanto, como ambos os termos tendem a zero, temos que \( |\langle x_n, y_n \rangle - \langle x, y \rangle| \to 0 \). Assim, concluímos que \( \langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \). Portanto, a afirmação está provada.