Grátis: Exercício 18. Seja X um espaço normado e F um subespaço fechado de X. Defina a função quociente: q : X→ X/F q(x) = [x] = x+ F. Mostre que q é um op...

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Exercício 18. Seja X um espaço normado e F um subespaço fechado de X. Defina a função quociente: q : X→ X/F q(x) = [x] = x+ F. Mostre que q é um operador limitado cuja norma é ‖q‖ = 1.

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Exercício 1. Seja X um espaço normado. (a) Mostre que toda sequência convergente em X é limitada, de Cauchy e possui um único limite. (b) Mostre que se uma sequência (xn)n≥0 ⊆ X é convergente, então qualquer subsequência de (xn)n≥0 converge para o mesmo limite. (c) Mostre que se uma sequência de Cauchy possui uma subsequência convergente, então ela é convergente.

Exercício 2. Se X é um espaço normado sobre R, prove: (a) A função ‖ · ‖ : X→ [0,+∞[ é contínua. (b) A operação adição definida sobre X× X é contínua. (c) A operação multiplicação por escalar definida sobre X×R é contínua.

Exercício 3. Dizemos que duas normas ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 num espaço X são equivalentes se existem constantes c1, c2 > 0 tais que: a‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ b‖x‖1, ∀ x ∈ X. Prove: (a) A relação acima é de equivalência. (b) Normas equivalentes definem as mesmas sequências de Cauchy.

Exercício 5. Mostre que a aplicação fy(x) = 〈x, y〉 é linear e contínua, para cada y ∈ E fixado, e que ‖fy‖∞ = sup ‖x‖≤1 |fy(x)| = ‖y‖.

Exercício 6. Sejam (xn)n≥0 e (yn)n≥0 duas sequências convergentes, xn → x, yn → y, de um espaço pré-Hilbertiano E. Mostre que 〈xn, yn〉→ 〈x, y〉.

Exercício 16. Seja BC(]0,+∞[) o espaço linear das funções limitadas na semi-reta ]0,+∞[, equipado com a norma uniforme. Defina T ∈ L(BC(]0,+∞[)) por: (Tx)(t) = 1/t ∫ t 0 x(τ) dτ. Mostre que T é um operador linear limitado e calcule a sua norma.

Exercício 17. Seja P([0, 1]) o conjunto dos polinômios no intervalo [0, 1] equipado com a norma uniforme: ‖x‖∞ = max{|x(t)| | t ∈ [0, 1]}. Para x ∈ P([0, 1]), seja: (Tx)(t) = x ′(t) = dx(t)/dt. Mostre que T é um operador linear não limitado.

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Exercício 2. Se X é um espaço normado sobre R, prove: (a) A função ‖ · ‖ : X→ [0,+∞[ é contínua. (b) A operação adição definida sobre X× X é contínua. (c) A operação multiplicação por escalar definida sobre X×R é contínua.

Exercício 5. Mostre que a aplicação fy(x) = 〈x, y〉 é linear e contínua, para cada y ∈ E fixado, e que ‖fy‖∞ = sup ‖x‖≤1 |fy(x)| = ‖y‖.

Exercício 6. Sejam (xn)n≥0 e (yn)n≥0 duas sequências convergentes, xn → x, yn → y, de um espaço pré-Hilbertiano E. Mostre que 〈xn, yn〉→ 〈x, y〉.

Exercício 16. Seja BC(]0,+∞[) o espaço linear das funções limitadas na semi-reta ]0,+∞[, equipado com a norma uniforme. Defina T ∈ L(BC(]0,+∞[)) por: (Tx)(t) = 1/t ∫ t 0 x(τ) dτ. Mostre que T é um operador linear limitado e calcule a sua norma.

Exercício 17. Seja P([0, 1]) o conjunto dos polinômios no intervalo [0, 1] equipado com a norma uniforme: ‖x‖∞ = max{|x(t)| | t ∈ [0, 1]}. Para x ∈ P([0, 1]), seja: (Tx)(t) = x ′(t) = dx(t)/dt. Mostre que T é um operador linear não limitado.

Exercício 19. Mostre que: se Y é um espaço de Banach, então (B(X, Y), ‖ · ‖∞) é um espaço de Banach.

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