Para mostrar que \( T \) é um operador linear não limitado, vamos seguir os passos: 1. Linearidade: Para \( x, y \in P([0, 1]) \) e \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \), temos: \[ T(\alpha x + \beta y)(t) = (\alpha x + \beta y)'(t) = \alpha x'(t) + \beta y'(t) = \alpha Tx(t) + \beta Ty(t). \] Portanto, \( T \) é linear. 2. Não limitado: Para mostrar que \( T \) não é limitado, precisamos encontrar uma sequência de polinômios \( \{x_n\} \) tal que \( \|x_n\|_\infty \to 0 \) enquanto \( \|Tx_n\|_\infty \to \infty \). Considere \( x_n(t) = t^n \) para \( t \in [0, 1] \). Temos: \[ \|x_n\|_\infty = \max_{t \in [0, 1]} |t^n| = 1. \] Agora, calculemos \( Tx_n(t) \): \[ Tx_n(t) = x_n'(t) = n t^{n-1}. \] Então, \[ \|Tx_n\|_\infty = \max_{t \in [0, 1]} |n t^{n-1}| = n. \] Assim, enquanto \( \|x_n\|_\infty \) permanece constante (igual a 1), \( \|Tx_n\|_\infty \) cresce sem limites conforme \( n \to \infty \). Portanto, \( T \) é um operador linear não limitado.