Exercício 19. Mostre que: se Y é um espaço de Banach, então (B(X, Y), ‖ · ‖∞) é um espaço de Banach.

Para mostrar que \( (B(X, Y), \| \cdot \|_\infty) \) é um espaço de Banach, precisamos provar que toda sequência de funções de Cauchy em \( B(X, Y) \) converge uniformemente para uma função que também pertence a \( B(X, Y) \). 1. Definição de \( B(X, Y) \): O espaço \( B(X, Y) \) é o conjunto de todas as funções contínuas de \( X \) em \( Y \). 2. Norma \( \| \cdot \|_\infty \): A norma \( \| f \|_\infty = \sup_{x \in X} \| f(x) \|_Y \) mede o "tamanho" da função \( f \). 3. Sequência de Cauchy: Seja \( (f_n) \) uma sequência de funções em \( B(X, Y) \) que é de Cauchy em \( (B(X, Y), \| \cdot \|_\infty) \). Isso significa que para todo \( \epsilon > 0 \), existe \( N \) tal que, para \( m, n \geq N \), temos: \[ \| f_n - f_m \|_\infty < \epsilon. \] 4. Convergência pontual: Para cada \( x \in X \), a sequência \( (f_n(x)) \) é uma sequência de Cauchy em \( Y \) (já que \( Y \) é um espaço de Banach). Portanto, existe um limite: \[ f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x). \] 5. Continuidade de \( f \): Precisamos mostrar que \( f \) é contínua. Para isso, dado \( \epsilon > 0 \), escolha \( N \) tal que para \( m, n \geq N \): \[ \| f_n - f_m \|_\infty < \frac{\epsilon}{3}. \] Então, para \( n \geq N \) e para todo \( x \in X \): \[ \| f(x) - f_n(x) \|_Y \leq \| f(x) - f_m(x) \|_Y + \| f_m(x) - f_n(x) \|_Y < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \frac{2\epsilon}{3}. \] Como \( f_n \) é contínua, para cada \( x \) e \( \delta > 0 \), existe \( \delta' \) tal que se \( \| x - x_0 \| < \delta' \), então: \[ \| f_n(x) - f_n(x_0) \|_Y < \frac{\epsilon}{3}. \] Portanto, \( f \) é contínua. 6. Conclusão: Assim, \( f \in B(X, Y) \) e \( (f_n) \) converge uniformemente para \( f \). Portanto, \( (B(X, Y), \| \cdot \|_\infty) \) é um espaço de Banach. Isso conclui a prova!