Para determinar e classificar os extremos da função \( z = x^2 + 2y^2 - 4y + 6x \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar as derivadas parciais: - Derivada em relação a \( x \): \( \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 6 \) - Derivada em relação a \( y \): \( \frac{\partial z}{\partial y} = 4y - 4 \) 2. Igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos: - \( 2x + 6 = 0 \) → \( x = -3 \) - \( 4y - 4 = 0 \) → \( y = 1 \) 3. Encontrar o ponto crítico: O ponto crítico é \( (-3, 1) \). 4. Calcular as derivadas segundas: - \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 \) - \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4 \) - \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \) 5. Formar a matriz Hessiana: \[ H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \] 6. Calcular o determinante da matriz Hessiana: - \( D = (2)(4) - (0)(0) = 8 \) 7. Classificação do ponto crítico: - Como \( D > 0 \) e \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 \), o ponto \( (-3, 1) \) é um mínimo local. Esses passos permitem determinar e classificar os extremos da função dada.