A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e sua área total é de 96pi cm2. Qual o raio da base, da altura e da área lateral do cone corretas.

Para resolver a questão, vamos usar as fórmulas do cone circular reto. 1. Área total do cone: \( A_{total} = A_{base} + A_{lateral} \) - A área lateral é dada por: \( A_{lateral} = \pi \cdot r \cdot g \), onde \( g \) é a geratriz. - A área da base é: \( A_{base} = \pi \cdot r^2 \). 2. Dados fornecidos: - Geratriz \( g = 10 \) cm. - Área total \( A_{total} = 96\pi \) cm². 3. Substituindo na fórmula da área total: \[ 96\pi = \pi r^2 + \pi r g \] Simplificando: \[ 96 = r^2 + r \cdot 10 \] \[ r^2 + 10r - 96 = 0 \] 4. Resolvendo a equação quadrática: Usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Onde \( a = 1, b = 10, c = -96 \): \[ r = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 384}}{2} \] \[ r = \frac{-10 \pm \sqrt{484}}{2} \] \[ r = \frac{-10 \pm 22}{2} \] As soluções são: \[ r = 6 \quad \text{(aceitável)} \quad \text{ou} \quad r = -16 \quad \text{(não aceitável)} \] 5. Encontrando a altura: Usando o teorema de Pitágoras: \[ g^2 = r^2 + h^2 \] \[ 10^2 = 6^2 + h^2 \] \[ 100 = 36 + h^2 \] \[ h^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad h = 8 \text{ cm} \] 6. Calculando a área lateral: \[ A_{lateral} = \pi \cdot r \cdot g = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \text{ cm}^2 \] Resumindo: - Raio da base \( r = 6 \) cm - Altura \( h = 8 \) cm - Área lateral \( A_{lateral} = 60\pi \) cm²