Para encontrar a matriz da transformação \( D \) na base \( \beta = \{x^2, x, 1\} \), precisamos calcular a derivada de cada elemento da base e expressar o resultado em termos da base \( \beta \). 1. Derivada de \( x^2 \): \[ D(x^2) = (x^2)' = 2x \] Na base \( \beta \), \( 2x \) é representado como \( 0 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 0 \cdot 1 \). 2. Derivada de \( x \): \[ D(x) = (x)' = 1 \] Na base \( \beta \), \( 1 \) é representado como \( 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 \cdot 1 \). 3. Derivada de \( 1 \): \[ D(1) = (1)' = 0 \] Na base \( \beta \), \( 0 \) é representado como \( 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 \cdot 1 \). Agora, organizando as informações em colunas para formar a matriz \( A \): - A primeira coluna (resultado de \( D(x^2) \)): \( [0, 2, 0]^T \) - A segunda coluna (resultado de \( D(x) \)): \( [0, 0, 1]^T \) - A terceira coluna (resultado de \( D(1) \)): \( [0, 0, 0]^T \) Portanto, a matriz \( A \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] Analisando as alternativas, a correta é: (b) A = [ 0 0 0; 2 0 0; 0 1 0 ].