5. Seja T : R7 → R3 uma transformação linear sobrejetiva. Então: (a) dim(N(T )) = 4 (b) dim(N(T )) = 3 (c) dim(Im(T )) = 2 (d) dim(Im(T )) = 0

Para resolver essa questão, vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Rango-Nulidade), que afirma que: \[ \text{dim}(V) = \text{dim}(\text{N}(T)) + \text{dim}(\text{Im}(T)) \] onde \( V \) é o espaço de partida, \( \text{N}(T) \) é o núcleo da transformação e \( \text{Im}(T) \) é a imagem da transformação. Dado que \( T: \mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^3 \) é uma transformação linear sobrejetiva, temos que: - A dimensão do espaço de chegada \( \text{dim}(\mathbb{R}^3) = 3 \). - Como \( T \) é sobrejetiva, \( \text{dim}(\text{Im}(T)) = 3 \). Agora, aplicando o Teorema da Dimensão: \[ 7 = \text{dim}(\text{N}(T)) + 3 \] Portanto: \[ \text{dim}(\text{N}(T)) = 7 - 3 = 4 \] Assim, a alternativa correta é: (a) dim(N(T)) = 4.