Projeção ortogonal do vetor (2,−9, 9) sobre 〈(1, 4, 6), (1, 1, 1)〉: (a) (4,−10, 6) (b) (−2, 1, 3) (c) (−8, 20,−12) (d) (1,−3) (e) Não sei.

Para encontrar a projeção ortogonal do vetor \((2, -9, 9)\) sobre o plano gerado pelos vetores \((1, 4, 6)\) e \((1, 1, 1)\), precisamos seguir alguns passos. 1. Encontrar um vetor normal ao plano: Podemos calcular o produto vetorial dos dois vetores que geram o plano. \[ \mathbf{n} = (1, 4, 6) \times (1, 1, 1) \] Calculando o produto vetorial: \[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 1 - 6 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 6 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 4 \cdot 1) \] \[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(-3) = (-2, 5, -3) \] 2. Calcular a projeção do vetor \((2, -9, 9)\) sobre o vetor normal \(\mathbf{n}\): A projeção de um vetor \(\mathbf{a}\) sobre um vetor \(\mathbf{b}\) é dada por: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} \] Aqui, \(\mathbf{a} = (2, -9, 9)\) e \(\mathbf{b} = (-2, 5, -3)\). Primeiro, calculamos o produto escalar: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot (-2) + (-9) \cdot 5 + 9 \cdot (-3) = -4 - 45 - 27 = -76 \] Agora, calculamos \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\): \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = (-2)^2 + 5^2 + (-3)^2 = 4 + 25 + 9 = 38 \] Agora, podemos calcular a projeção: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{-76}{38} \mathbf{b} = -2 \cdot (-2, 5, -3) = (4, -10, 6) \] Portanto, a projeção ortogonal do vetor \((2, -9, 9)\) sobre o plano gerado pelos vetores \((1, 4, 6)\) e \((1, 1, 1)\) é: Alternativa correta: (a) (4,−10, 6).