Para determinar qual transformação linear a matriz \( A = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & \frac{3}{5} & 0 \\ \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) representa, vamos analisar suas características. 1. Reflexão: Uma matriz de reflexão tem determinante igual a -1. Vamos calcular o determinante de \( A \): \[ \text{det}(A) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{16}{25} - \frac{9}{25} = -\frac{25}{25} = -1 \] Portanto, a matriz representa uma reflexão. 2. Projeção: Uma matriz de projeção tem determinante igual a 0. Como o determinante é -1, não é uma projeção. 3. Reta e Plano: A matriz reflete em relação a uma reta ou plano. A reta gerada pelo vetor \( (1, -3, 0) \) é a direção que estamos considerando. Agora, analisando as alternativas: (a) Uma reflexão através do plano \( x - 3y = 0 \) - Não é correto, pois a matriz não representa uma reflexão em um plano. (b) Uma projeção no plano \( x - 3y = 0 \) - Não é correto, pois já sabemos que não é uma projeção. (c) Uma reflexão através da reta gerada pelo vetor \( (1, -3, 0) \) - Esta opção parece correta, pois a matriz reflete em relação a essa reta. (d) Uma projeção na reta gerada pelo vetor \( (1, -3, 0) \) - Não é correto, pois não é uma projeção. Portanto, a alternativa correta é: (c) Uma reflexão através da reta gerada pelo vetor (1,−3, 0).