Seja A = [1 0 0 2; 0 1 1 0; 0 1 2 0; 3 0 0 8]. O determinante de A é: (a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 1

Para calcular o determinante da matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} \), podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos calcular o determinante usando a expansão pela primeira linha: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} - 0 + 0 - 2 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] Calculando o primeiro determinante: \[ \text{det}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} = 8 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = 8 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 8 \cdot 1 = 8 \] Agora, o segundo determinante: \[ \text{det}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 \quad (\text{porque a primeira coluna é toda zero}) \] Portanto, temos: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot 8 - 0 - 0 - 2 \cdot 0 = 8 \] Assim, o determinante de \( A \) é \( 8 \). A alternativa correta é: (c) 8.