Para encontrar o valor da derivada da função \( f(x) = 42x + 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1} \) no ponto \( x = 2 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Derivar a função: Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia, já que a função é composta. 2. Substituir \( x = 2 \): Após encontrar a derivada, substituímos \( x \) por 2 para encontrar o valor da derivada nesse ponto. Vamos calcular a derivada: 1. A função pode ser reescrita como: \[ f(x) = 42x + 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1} \] 2. Derivando \( f(x) \): - A derivada de \( 42x \) é \( 42 \). - Para a parte \( 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1} \), aplicamos a regra do produto: \[ u = 3(2 - x^2) \quad \text{e} \quad v = \sqrt{4x + 1} \] A derivada \( f'(x) \) será: \[ f'(x) = u'v + uv' \] - Calculando \( u' \) e \( v' \): - \( u' = -6x \) - \( v' = \frac{2}{2\sqrt{4x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{4x + 1}} \) 3. Agora, substituímos na fórmula da derivada e simplificamos. 4. Finalmente, substituímos \( x = 2 \) na derivada encontrada. Após realizar todos os cálculos, você encontrará que o valor da derivada \( f'(2) \) é igual a \( 2 \). Portanto, a alternativa correta é: D) 2.