Determine os autovalores da transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(2x+z,−1y+z,−1z)

Para determinar os autovalores da transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x,y,z) = (2x + z, -y + z, -z) \), precisamos encontrar a matriz associada a essa transformação. 1. Escrevendo a matriz: A transformação pode ser representada pela matriz \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] 2. Encontrando os autovalores: Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica \( \det(A - \lambda I) = 0 \), onde \( I \) é a matriz identidade. \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 1 \\ 0 & -1 - \lambda & 1 \\ 0 & 0 & -1 - \lambda \end{pmatrix} \] O determinante é: \[ \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda) \cdot \det\begin{pmatrix} -1 - \lambda & 1 \\ 0 & -1 - \lambda \end{pmatrix} \] Calculando o determinante da matriz \( 2 \times 2 \): \[ \det\begin{pmatrix} -1 - \lambda & 1 \\ 0 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = (-1 - \lambda)(-1 - \lambda) = (1 + \lambda)^2 \] Portanto, temos: \[ \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(1 + \lambda)^2 \] 3. Resolvendo a equação: \[ (2 - \lambda)(1 + \lambda)^2 = 0 \] Os autovalores são: - \( \lambda_1 = 2 \) - \( \lambda_2 = -1 \) (com multiplicidade 2) Assim, os autovalores da transformação linear \( T \) são \( \lambda_1 = 2 \) e \( \lambda_2 = -1 \) (com multiplicidade 2).