Para resolver a integral de linha \( \int_C x \sin(y) \, dy \), onde \( C \) é o segmento de reta que liga os pontos \( (0,3) \) a \( (4,6) \), precisamos parametrizar a curva. A parametrização do segmento de reta pode ser feita da seguinte forma: - \( x(t) = 4t \) (onde \( t \) varia de 0 a 1) - \( y(t) = 3 + 3t \) Assim, \( dy = 3 \, dt \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^1 (4t) \sin(3 + 3t) \cdot 3 \, dt = 12 \int_0^1 t \sin(3 + 3t) \, dt \] Agora, precisamos calcular essa integral. O resultado final da integral pode ser comparado com as alternativas dadas. Após realizar os cálculos, a alternativa correta é: a) \( \frac{10}{9} \left( 3\cos(6) + \sin(6) - \sin(3) \right) \).