Encontre o intervalo onde a função \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) é crescente. a) \(x < -1\) ou \(x > 1\) b) \(x > 1\) c) \(x < -1\) d) \(x > 0\)

Para determinar onde a função \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) é crescente, precisamos calcular a derivada da função e analisar seu sinal. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ ou } x = 1 \] 3. Analisar o sinal da derivada: Vamos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos: \((-∞, -1)\), \((-1, 1)\) e \((1, ∞)\). - Para \(x < -1\) (por exemplo, \(x = -2\)): \[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 \quad (\text{crescente}) \] - Para \(-1 < x < 1\) (por exemplo, \(x = 0\)): \[ f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 \quad (\text{decrescente}) \] - Para \(x > 1\) (por exemplo, \(x = 2\)): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 \quad (\text{crescente}) \] 4. Conclusão: A função \(f(x)\) é crescente nos intervalos \(x < -1\) e \(x > 1\). Portanto, a alternativa correta é: a) \(x < -1\) ou \(x > 1\)