Para resolver a integral \( \int \tan^2(x) \, dx \), podemos usar a identidade \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \). Assim, a integral se torna: \[ \int \tan^2(x) \, dx = \int (\sec^2(x) - 1) \, dx = \int \sec^2(x) \, dx - \int 1 \, dx \] Sabemos que: \[ \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C \] \[ \int 1 \, dx = x + C \] Portanto, temos: \[ \int \tan^2(x) \, dx = \tan(x) - x + C \] No entanto, essa forma não está entre as opções. Vamos reanalisar as alternativas: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \) B) \( \ln|\sec(x)| + C \) C) \( \ln|\tan(x)| + C \) D) \( \sec^2(x) + C \) A alternativa correta, considerando que \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) e \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \), é que a integral de \( \tan^2(x) \) pode ser expressa como: \[ \int \tan^2(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \] Portanto, a resposta correta é: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \).