Para resolver a integral \( \int x^2 \sin(x) \, dx \), podemos usar o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \( u = x^2 \) \(\Rightarrow du = 2x \, dx\) - \( dv = \sin(x) \, dx \) \(\Rightarrow v = -\cos(x)\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) - \int -\cos(x) \cdot 2x \, dx \] Isso se simplifica para: \[ -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) \, dx \] Agora, precisamos resolver \( \int x \cos(x) \, dx \) novamente usando integração por partes: - \( u = x \) \(\Rightarrow du = dx\) - \( dv = \cos(x) \, dx \) \(\Rightarrow v = \sin(x)\) Aplicando novamente a fórmula: \[ \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) \] Substituindo de volta na integral original: \[ \int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) \] Simplificando: \[ = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C \] Portanto, a resposta correta é: A) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) - 2 \cos(x) + C \) A opção correta é a) (mas note que a parte de \( -2 \cos(x) \) parece um erro de sinal, o correto seria \( +2 \cos(x) \)).