Qual é a integral de \( an(x) \)? A) \(-\ln|\cos(x)| + C\) B) \(\ln|\sin(x)| + C\) C) \(-\ln|\tan(x)| + C\) D) \(\ln|\tan(x)| + C\)

Para encontrar a integral de \( \tan(x) \), podemos usar a identidade \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). A integral de \( \tan(x) \) pode ser resolvida usando a substituição: \[ \int \tan(x) \, dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx \] Fazendo a substituição \( u = \cos(x) \), temos \( du = -\sin(x) \, dx \), o que nos leva a: \[ -\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos(x)| + C \] Portanto, a integral de \( \tan(x) \) é: \[ -\ln|\cos(x)| + C \] Assim, a alternativa correta é: A) \(-\ln|\cos(x)| + C\)