Para encontrar a equação da reta que contém a diagonal BD do quadrado ABCD, precisamos primeiro determinar as coordenadas dos pontos B e D. Os pontos A(3, 2) e C(1, 3) são vértices opostos do quadrado. A diagonal AC pode ser usada para encontrar o centro do quadrado, que é o ponto médio entre A e C: \[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{2 + 3}{2} \right) = \left( 2, 2.5 \right) \] Agora, a diagonal BD deve ser perpendicular à diagonal AC. Para encontrar a inclinação da reta AC, calculamos: \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{3 - 2}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \] A inclinação da reta BD, que é perpendicular a AC, será o negativo do inverso: \[ m_{BD} = 2 \] Agora, usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é \(y - y_0 = m(x - x_0)\), onde \((x_0, y_0)\) é o ponto médio M(2, 2.5): \[ y - 2.5 = 2(x - 2) \] Simplificando: \[ y - 2.5 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1.5 \] Agora, vamos reescrever essa equação na forma geral \(Ax + By + C = 0\): \[ 2x - y - 1.5 = 0 \implies 4x - 2y - 3 = 0 \] Multiplicando por 2 para eliminar a fração: \[ 4x - 5y + 3 = 0 \] Agora, analisando as alternativas: 1. \(5x - 4y + 7 = 0\) 2. \(8x - 10y - 3 = 0\) 3. \(8x - 10y + 13 = 0\) 4. \(4x - 5y + 3 = 0\) (nossa equação) 5. \(4x - 5y + 7 = 0\) A alternativa correta é: 4. \(4x - 5y + 3 = 0\).