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Geometria Analítica

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Quando representados no sistema de coordenadas xOy, o ponto B é o simétrico do ponto A (-3, 2) em relação à origem O; por sua vez, o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida da área do triângulo ABC é igual a:

a) 8
b) 9
c) 10
d) 12

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Problemas de Geometria Analítica

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Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Encontrar o ponto B: O ponto B é o simétrico do ponto A (-3, 2) em relação à origem O. Para encontrar o simétrico em relação à origem, trocamos o sinal das coordenadas: - A(-3, 2) → B(3, -2) 2. Encontrar o ponto C: O ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Para isso, mantemos a coordenada x e trocamos o sinal da coordenada y: - B(3, -2) → C(3, 2) 3. Coordenadas dos pontos: - A(-3, 2) - B(3, -2) - C(3, 2) 4. Calcular a área do triângulo ABC: Podemos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices em coordenadas cartesianas: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo as coordenadas: - \( x_1 = -3, y_1 = 2 \) - \( x_2 = 3, y_2 = -2 \) - \( x_3 = 3, y_3 = 2 \) \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -3(-2 - 2) + 3(2 - 2) + 3(2 - (-2)) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -3(-4) + 3(0) + 3(4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 12 + 0 + 12 \right| = \frac{1}{2} \left| 24 \right| = 12 \] Portanto, a medida da área do triângulo ABC é igual a 12. A alternativa correta é: d) 12.

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Em qual das alternativas a seguir, o ponto P pertence à circunferência β?

a) P(5, 6); β : (x – 3)² + (y – 6)² = 4
b) P(1, 2); β : (x – 2)² + (y – 2)² = 5
c) P(1, 5); β : x² + y² – 8x + 6 = 0
d) P(1, 3); β : (x + 1)² + (y – 2)² = 16
e) P(3, 1); β : x² + y² – 4x + 2y +2 = 0

Considere a reta de equação 4x – 7y + 10 = 0. Seja y = mx + h a equação da reta obtida ao se fazer a reflexão da reta dada em relação ao eixo x. O valor de m + h é:

a) –10/11
b) –10/7
c) –2
d) –7
e) –10

Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de retas nos gráficos. Mandadas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios solares após

a) 8,225 anos.
b) 9,375 anos
c) 10,025 anos.
d) 10,175 anos.
e) 9,625 anos.

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0 à origem é u. c. ≡ unidade de comprimento

a) 3 u. c.
b) 6 u. c.
c) 5 u. c.
d) 4 u. c.

Considere a reta r de equação y = 2x + 1. Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P = (4, 2)?

a) y = x/2
b) y = –2x + 10
c) y = –x/2 + 5
d) y = –2x
e) y = –x/2 + 4

A circunferência λ = x² + y² – 4x – 10y + 13 = 0, de centro C, e a reta r : x + y – 11 = 0 se interceptam nos pontos P e Q. A área do triângulo PCQ, em unidades de área, é

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Em um plano, munido do referencial cartesiano usual, seja A o ponto de interseção das retas 3x + y + 4 = 0 e 2x – 5y + 14 = 0. Se os pontos B e C são respectivamente as interseções de cada uma destas retas com o eixo-x, então, a área do triângulo ABC, é igual

a) 13/3 u.a.
b) 14/3 u.a.
c) 16/3 u.a.
d) 17/3 u.a.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C (0, 0), A e B, o valor de xo deve ser igual a:

a) 2 – √2
b) 3 – √2
c) 4 – √2
d) 5 – √2

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é:

a) y = (√3)x
b) y = (√3)x/3 + (√3)/3
c) y = (√3)x/2 + (√3)/2
d) y = (√3)x/3 – (√3)/3
e) y = (√3)x/2 – (√3)/2

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Em qual das alternativas a seguir, o ponto P pertence à circunferência β?a) P(5, 6); β : (x – 3)² + (y – 6)² = 4b) P(1, 2); β : (x – 2)² + (y – 2)² = 5c) P(1, 5); β : x² + y² – 8x + 6 = 0d) P(1, 3); β : (x + 1)² + (y – 2)² = 16e) P(3, 1); β : x² + y² – 4x + 2y +2 = 0

Considere a reta de equação 4x – 7y + 10 = 0. Seja y = mx + h a equação da reta obtida ao se fazer a reflexão da reta dada em relação ao eixo x. O valor de m + h é:a) –10/11b) –10/7c) –2d) –7e) –10

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0 à origem é u. c. ≡ unidade de comprimentoa) 3 u. c.b) 6 u. c.c) 5 u. c.d) 4 u. c.

Considere a reta r de equação y = 2x + 1. Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P = (4, 2)?a) y = x/2b) y = –2x + 10c) y = –x/2 + 5d) y = –2xe) y = –x/2 + 4

A circunferência λ = x² + y² – 4x – 10y + 13 = 0, de centro C, e a reta r : x + y – 11 = 0 se interceptam nos pontos P e Q. A área do triângulo PCQ, em unidades de área, éa) 6b) 7c) 8d) 9

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C (0, 0), A e B, o valor de xo deve ser igual a:a) 2 – √2b) 3 – √2c) 4 – √2d) 5 – √2

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é:a) y = (√3)xb) y = (√3)x/3 + (√3)/3c) y = (√3)x/2 + (√3)/2d) y = (√3)x/3 – (√3)/3e) y = (√3)x/2 – (√3)/2

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Considere a reta de equação 4x – 7y + 10 = 0. Seja y = mx + h a equação da reta obtida ao se fazer a reflexão da reta dada em relação ao eixo x. O valor de m + h é:

a) –10/11
b) –10/7
c) –2
d) –7
e) –10

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0 à origem é u. c. ≡ unidade de comprimento

a) 3 u. c.
b) 6 u. c.
c) 5 u. c.
d) 4 u. c.

Considere a reta r de equação y = 2x + 1. Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P = (4, 2)?

a) y = x/2
b) y = –2x + 10
c) y = –x/2 + 5
d) y = –2x
e) y = –x/2 + 4

A circunferência λ = x² + y² – 4x – 10y + 13 = 0, de centro C, e a reta r : x + y – 11 = 0 se interceptam nos pontos P e Q. A área do triângulo PCQ, em unidades de área, é

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C (0, 0), A e B, o valor de xo deve ser igual a:

a) 2 – √2
b) 3 – √2
c) 4 – √2
d) 5 – √2

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é:

a) y = (√3)x
b) y = (√3)x/3 + (√3)/3
c) y = (√3)x/2 + (√3)/2
d) y = (√3)x/3 – (√3)/3
e) y = (√3)x/2 – (√3)/2