Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o centro e o raio da circunferência dada pela equação \( \lambda = x² + y² - 4x - 10y + 13 = 0 \). 1. Completar o quadrado: - Para \( x \): \( x² - 4x \) se torna \( (x - 2)² - 4 \). - Para \( y \): \( y² - 10y \) se torna \( (y - 5)² - 25 \). Assim, a equação da circunferência pode ser reescrita como: \[ (x - 2)² + (y - 5)² - 4 - 25 + 13 = 0 \] \[ (x - 2)² + (y - 5)² = 16 \] Portanto, o centro \( C \) é \( (2, 5) \) e o raio é \( 4 \). 2. Encontrar os pontos de interseção com a reta: A reta é dada por \( x + y - 11 = 0 \), ou seja, \( y = 11 - x \). Substituindo na equação da circunferência: \[ (x - 2)² + (11 - x - 5)² = 16 \] \[ (x - 2)² + (6 - x)² = 16 \] Expandindo e simplificando: \[ (x - 2)² + (6 - x)² = 16 \] \[ (x² - 4x + 4) + (36 - 12x + x²) = 16 \] \[ 2x² - 16x + 40 = 16 \] \[ 2x² - 16x + 24 = 0 \] Dividindo por 2: \[ x² - 8x + 12 = 0 \] Resolvendo a equação quadrática: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(8)² - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \] Portanto, \( x_1 = 6 \) e \( x_2 = 2 \). Substituindo esses valores de volta na equação da reta para encontrar \( y \): - Para \( x_1 = 6 \): \( y_1 = 11 - 6 = 5 \) → ponto \( P(6, 5) \). - Para \( x_2 = 2 \): \( y_2 = 11 - 2 = 9 \) → ponto \( Q(2, 9) \). 3. Encontrar a área do triângulo \( PCQ \): Os pontos são \( P(6, 5) \), \( C(2, 5) \) e \( Q(2, 9) \). A área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 6(5 - 9) + 2(9 - 5) + 2(5 - 5) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 6(-4) + 2(4) + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -24 + 8 \right| = \frac{1}{2} \left| -16 \right| = \frac{16}{2} = 8 \] Portanto, a área do triângulo \( PCQ \) é 8. A alternativa correta é c).