612. (EEAR – 2019.1) Para que os pontos ????(????, 3), ????(−2????, 0) e ????(1,1) sejam colineares, é necessário que ???? seja: A) –2 B) –1 C) 2 D) 3

Para que os pontos \( A(x, 3) \), \( B(-2y, 0) \) e \( C(1, 1) \) sejam colineares, a área do triângulo formado por eles deve ser igual a zero. Podemos usar a fórmula da área do triângulo formada por três pontos: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos: - \( A(x, 3) \) - \( B(-2y, 0) \) - \( C(1, 1) \) A fórmula fica: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x(0 - 1) + (-2y)(1 - 3) + 1(3 - 0) \right| = 0 \] Simplificando: \[ \frac{1}{2} \left| -x + 4y + 3 \right| = 0 \] Portanto, temos: \[ -x + 4y + 3 = 0 \] Isolando \( y \): \[ 4y = x - 3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x - 3}{4} \] Agora, substituímos as alternativas para encontrar o valor de \( y \): A) \( y = -2 \) \[ -2 = \frac{x - 3}{4} \quad \Rightarrow \quad -8 = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \] B) \( y = -1 \) \[ -1 = \frac{x - 3}{4} \quad \Rightarrow \quad -4 = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] C) \( y = 2 \) \[ 2 = \frac{x - 3}{4} \quad \Rightarrow \quad 8 = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = 11 \] D) \( y = 3 \) \[ 3 = \frac{x - 3}{4} \quad \Rightarrow \quad 12 = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \] Assim, para que os pontos sejam colineares, a opção correta é a que resulta em um valor de \( y \) que satisfaça a equação. A resposta correta é: A) –2.