61. (EsPCEx – DECEX – 2014) A função f: R → R definida por f(x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6 tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função f(x) é positiva.

a) (−∞, −1) ∪ (0, 1)
b) (−∞, −1) ∪ (2, +∞)
c) (−∞, −1) ∪ (− ½ , ½ ) ∪ [2, +∞)
d) (−∞, −3) ∪ ( ½ , 2) ∪ ( 5/2, +∞)
e) (−∞, −1) ∪ (1, 2) ∪ (3, +∞)

Question

61. (EsPCEx – DECEX – 2014) A função f: R → R definida por f(x) = x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6 tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. Assina...

Ed · Answer

Para determinar onde a função $ f(x) = x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 $ é positiva, precisamos analisar suas raízes e o comportamento da função em relação a essas raízes.

Sabemos que as raízes dadas são $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos encontrar as outras raízes da função, se existirem, e depois analisar os intervalos.

1. **Fatoração**: Como $ -1 $ e $ 1 $ são raízes, podemos fatorar a função. Usando a divisão polinomial, podemos dividir $ f(x) $ por $ (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 $.

2. **Divisão**: Após a divisão, encontramos que:
   $$
   f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x^2 - 1)(x - 2)(x + 2)
   $$

3. **Raízes**: As raízes da função são $ x = -2, -1, 1, 2 $.

4. **Análise de sinais**: Agora, vamos analisar os sinais da função nos intervalos determinados pelas raízes:
   - $ (-\infty, -2) $
   - $ (-2, -1) $
   - $ (-1, 1) $
   - $ (1, 2) $
   - $ (2, +\infty) $

5. **Testando os intervalos**:
   - Para $ x  0 $
   - Para $ -2  2 $ (ex: $ x = 3 $): $ f(3) > 0 $

6. **Conclusão**: A função é positiva nos intervalos $ (-\infty, -2) $ e $ (2, +\infty) $.

Agora, analisando as alternativas:
a) $ (-\infty, -1) \cup (0, 1) $ - Incorreto
b) $ (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) $ - Correto
c) $ (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup [2, +\infty) $ - Incorreto
d) $ (-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (\frac{5}{2}, +\infty) $ - Incorreto
e) $ (-\infty, -1) \cup (1, 2) \cup (3, +\infty) $ - Incorreto

Portanto, a alternativa correta é: **b) $ (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) $**.

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50. (EsPCEx – DECEX – 2017) O conjunto solução da inequação ||x-4|+1|≤ 2 é um intervalo do tipo [a,b]. O valor de a+b é igual a

a) -8.
b) -2.
c) 0.
d) 2.
e) 8.

51. (EsPCEx – DECEX – 2016) Os gráficos de f(x)=2 e g(x)=x2-|x| têm dois pontos em comum. O valor da soma das abscissas dos pontos em comum é igual a

a) 0
b) 4
c) 8
d) 10
e) 15

52. (EsPCEx – DECEX – 2015) Considerando a função real definida por , o valor de f(0)+f(4) é

a) -8
b) 0
c) 1
d) 2
e) 4

53. (EsPCEx – DECEX – 2014) O número de soluções da equação ½ ∣x∣ ⋅ ∣x − 3∣ = 2 ⋅ ∣x – 3/2 ∣ , no conjunto , é

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

54. (EsPCEx – DECEX – 2010) Considerando a função Real f(x) = (x − 1). |x − 2|, o intervalo real para o qual f(x) ≥ 2 é

a) {x ∈ R |x ≥ 3}
b) {x ∈ R |x ≤ 0 ou x ≥ 3}
c) {x ∈ R |1 ≤ x ≤ 2}
d) {x ∈ R |x ≥ 2}
e) {x ∈ R |x ≤ 1}

55. (EsPCEx – DECEX – 2020) Sejam f(x)=4x² - 12x + 5 e g(x) = x + 2 funções reais. O menor inteiro para o qual f (g(x)) < 0 é

a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

57. (EsPCEx – DECEX – 2010) O conjunto-solução da inequação , no conjunto dos números Reais, é

a) {x ∈ R|0 < x < 1}
b) {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}
c) {x ∈ R|0 < x ≤ 1}
d) {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 1}
e) {x ∈ R| − 3 ≤ x < 1}

59. (EsPCEx – DECEX – 2018) Considere a função definida e a função , definida por .O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a

a) 1/81
b) 1/9
c) 1
d) 9
e) 81

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51. (EsPCEx – DECEX – 2016) Os gráficos de f(x)=2 e g(x)=x2-|x| têm dois pontos em comum. O valor da soma das abscissas dos pontos em comum é igual aa) 0b) 4c) 8d) 10e) 15

52. (EsPCEx – DECEX – 2015) Considerando a função real definida por , o valor de f(0)+f(4) éa) -8b) 0c) 1d) 2e) 4

53. (EsPCEx – DECEX – 2014) O número de soluções da equação ½ ∣x∣ ⋅ ∣x − 3∣ = 2 ⋅ ∣x – 3/2 ∣ , no conjunto , éa) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e) 5.

54. (EsPCEx – DECEX – 2010) Considerando a função Real f(x) = (x − 1). |x − 2|, o intervalo real para o qual f(x) ≥ 2 éa) {x ∈ R |x ≥ 3}b) {x ∈ R |x ≤ 0 ou x ≥ 3}c) {x ∈ R |1 ≤ x ≤ 2}d) {x ∈ R |x ≥ 2}e) {x ∈ R |x ≤ 1}

55. (EsPCEx – DECEX – 2020) Sejam f(x)=4x² - 12x + 5 e g(x) = x + 2 funções reais. O menor inteiro para o qual f (g(x)) < 0 éa) -2.b) -1.c) 0.d) 1.e) 2.

57. (EsPCEx – DECEX – 2010) O conjunto-solução da inequação , no conjunto dos números Reais, éa) {x ∈ R|0 < x < 1}b) {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}c) {x ∈ R|0 < x ≤ 1}d) {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 1}e) {x ∈ R| − 3 ≤ x < 1}

59. (EsPCEx – DECEX – 2018) Considere a função definida e a função , definida por .O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual aa) 1/81b) 1/9c) 1d) 9e) 81

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b) -2.
c) 0.
d) 2.
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a) 0
b) 4
c) 8
d) 10
e) 15

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a) -8
b) 0
c) 1
d) 2
e) 4

53. (EsPCEx – DECEX – 2014) O número de soluções da equação ½ ∣x∣ ⋅ ∣x − 3∣ = 2 ⋅ ∣x – 3/2 ∣ , no conjunto , é

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

54. (EsPCEx – DECEX – 2010) Considerando a função Real f(x) = (x − 1). |x − 2|, o intervalo real para o qual f(x) ≥ 2 é

a) {x ∈ R |x ≥ 3}
b) {x ∈ R |x ≤ 0 ou x ≥ 3}
c) {x ∈ R |1 ≤ x ≤ 2}
d) {x ∈ R |x ≥ 2}
e) {x ∈ R |x ≤ 1}

55. (EsPCEx – DECEX – 2020) Sejam f(x)=4x² - 12x + 5 e g(x) = x + 2 funções reais. O menor inteiro para o qual f (g(x)) < 0 é

a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

57. (EsPCEx – DECEX – 2010) O conjunto-solução da inequação , no conjunto dos números Reais, é

a) {x ∈ R|0 < x < 1}
b) {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}
c) {x ∈ R|0 < x ≤ 1}
d) {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 1}
e) {x ∈ R| − 3 ≤ x < 1}

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a) 1/81
b) 1/9
c) 1
d) 9
e) 81