Para encontrar o valor de \( \tan(x) \) sabendo que \( \sin(x) = \frac{5}{13} \), precisamos usar a relação entre as funções trigonométricas. Sabemos que: \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \] Primeiro, vamos encontrar \( \cos(x) \). Usamos a identidade pitagórica: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Substituindo \( \sin(x) \): \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] Calculando: \[ \frac{25}{169} + \cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] Portanto: \[ \cos(x) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] Agora, substituímos \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \) na fórmula de \( \tan(x) \): \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \] Assim, a alternativa correta é: a) \( \frac{5}{12} \)