Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter pelo menos 6 caras? a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4

Para calcular a probabilidade de obter pelo menos 6 caras em 10 lançamentos de uma moeda, podemos usar a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (10), - \( k \) é o número de sucessos (caras), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (0,5 para uma moeda justa). Queremos calcular a probabilidade de obter 6, 7, 8, 9 ou 10 caras. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las. 1. Para 6 caras: \[ P(X = 6) = \binom{10}{6} (0,5)^6 (0,5)^4 = \binom{10}{6} (0,5)^{10} \] 2. Para 7 caras: \[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0,5)^7 (0,5)^3 = \binom{10}{7} (0,5)^{10} \] 3. Para 8 caras: \[ P(X = 8) = \binom{10}{8} (0,5)^8 (0,5)^2 = \binom{10}{8} (0,5)^{10} \] 4. Para 9 caras: \[ P(X = 9) = \binom{10}{9} (0,5)^9 (0,5)^1 = \binom{10}{9} (0,5)^{10} \] 5. Para 10 caras: \[ P(X = 10) = \binom{10}{10} (0,5)^{10} (0,5)^0 = \binom{10}{10} (0,5)^{10} \] Agora, somamos todas essas probabilidades: \[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \] Calculando os coeficientes binomiais e as potências de 0,5, obtemos: - \( P(X = 6) \approx 0,205 \) - \( P(X = 7) \approx 0,117 \) - \( P(X = 8) \approx 0,043 \) - \( P(X = 9) \approx 0,010 \) - \( P(X = 10) \approx 0,001 \) Somando tudo: \[ P(X \geq 6) \approx 0,205 + 0,117 + 0,043 + 0,010 + 0,001 \approx 0,376 \] Assim, a probabilidade de obter pelo menos 6 caras é aproximadamente 0,4. Portanto, a alternativa correta é: d) 0,4.