Para resolver essa questão, vamos considerar a conservação da energia e a dinâmica do sistema. 1. Energia Potencial Inicial: Quando a partícula está no topo do disco, ela possui energia potencial gravitacional dada por: \[ E_p = mgh = mg(2R) \] onde \( h = 2R \) é a altura da partícula em relação ao ponto mais baixo. 2. Energia Cinética no Ponto Mais Baixo: Quando a partícula chega ao ponto mais baixo, toda a energia potencial se transforma em energia cinética. A energia cinética total do sistema (disco + partícula) é dada por: \[ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2 \] onde \( I \) é o momento de inércia do disco e \( \omega \) é a velocidade angular. 3. Momento de Inércia do Disco: O momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo é: \[ I = \frac{1}{2} MR^2 \] 4. Relação entre Velocidade Linear e Angular: A velocidade linear da partícula na borda do disco é dada por: \[ v = R\omega \] 5. Conservação de Energia: Igualando a energia potencial inicial à energia cinética no ponto mais baixo: \[ mg(2R) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} MR^2\right) \omega^2 + \frac{1}{2} m(R\omega)^2 \] 6. Simplificando a Equação: Substituindo \( v = R\omega \): \[ mg(2R) = \frac{1}{4} MR^2 \omega^2 + \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 \] \[ mg(2R) = \left(\frac{1}{4} M + \frac{1}{2} m\right) R^2 \omega^2 \] 7. Isolando \( \omega \): \[ \omega^2 = \frac{2mg}{\left(\frac{1}{4} M + \frac{1}{2} m\right) R} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{2mg}{\left(\frac{1}{4} M + \frac{1}{2} m\right) R}} \] Assim, a velocidade angular do disco quando a partícula passa pelo ponto mais baixo da sua trajetória é dada pela expressão acima.