Apresentação sobre Energia Cinética e Trabalho II

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ENERGIA CINÉTICA E 
TRABALHO – AULA 2 
Prof. Luiz Fernando Mackedanz 
… De volta ao trabalho 
 Usando o produto escalar recém introduzido, agora podemos escrever uma 
expressão para o trabalho realizado por uma força constante 
 Trabalho realizado por uma força constante 
 
 
 
 
 Caso especial que já calculamos: trabalho realizado pela força gravitacional no 
vaso: 
Caso unidimensional 
 Trabalho realizado por uma força constante para o movimento unidimensional 
 
 
 
 O vetor força F e 
o vetor deslocamento Δx 
 podem apontar no mesmo 
 sentido 
(=> trabalho positivo) 
ou em sentidos opostos 
(=>trabalho negativo) 
Teorema do trabalho e energia cinética 
 A relação entre a energia cinética de um objeto e o trabalho realizado sobre 
ele por uma força constante 
 
 
 Este é o teorema do "trabalho e energia cinética" 
 Formulações equivalentes (resolvendo para K or K0): 
 
 
 
 Por favor, repare: A energia cinética não pode ser menor do que 0. Então o 
trabalho realizado por um objeto (trabalho negativo) não pode ter módulo 
maior que a energia cinética inicial. 
Trabalho realizado pela gravidade 
 O trabalho realizado pela força gravitacional durante o movimento ascendente 
de um projétil 
Wg = -mgh 
 
 (redução da energia cinética na subida) 
 O trabalho realizado pela força gravitacional no projétil na descida 
 
Wg = mgh 
 
 (aumento da energia cinética na descida) 
Trabalho realizado ao erguer um objeto 
 Aplicação de uma força externa F no sentido vertical 
 O teorema do trabalho e energia cinética agora inclui o trabalho 
realizado pela gravidade e o trabalho realizado por uma força externa 
 
 
 Quando erguemos um objeto, ele está inicialmente em repouso (K0 = 0) 
e também depois que o erguemos até sua altura final (K = 0) => 
 
 Erguendo: WF=-Wg=mgh 
 Abaixando: WF=-Wg=-mgh 
Exemplo: halterofilismo 
Questão: 
 Ronny Weller ganhou a medalha de prata em Sydney. Ele levantou 257,5 kg na 
competição de “arremesso”. Presumindo que ele tenha levantado a 
massa a uma altura de 1,83 m e a mantido lá, qual foi o trabalho realizado 
neste processo? 
Resposta: 
 O trabalho foi 
 
 
 
Nota: 
 O trabalho para abaixar foi então 
-4,62 kJ. 
Uso de polias para o levantamento 
A força necessária para puxar uma massa m para cima com o uso de polias é 
metade do peso 
 
 Trabalho realizado por T2: 
 
 No entanto, os deslocamentos 
são diferentes: 
 
 Obtemos o trabalho realizado 
por T1: 
Trabalho idêntico com ou sem o uso de polias! 
Trabalho realizado por força variável (1) 
 Lembrete do caso constante em 1d: Trabalho é a área do retângulo com 
largura = deslocamento e altura = força 
 Se a força for variável como uma função do deslocamento, o trabalho ainda 
será a área abaixo da curva 
 Ideia: divida o intervalo de x0 a x em diversos intervalos menores com 
largura ∆x 
 Em cada um dos pequenos intervalos entre xi e xi+1 podemos aproximar 
a força de uma constante e, portanto, o trabalho como sendo a área 
do retângulo 
 
 Obtem-se uma aproximação do trabalho total fazendo a soma de todos 
os retângulos: 
Trabalho realizado por força variável (2) 
Trabalho realizado por força variável (3) 
 Agora torne a largura dos 
retângulos individuais menor 
 
 Trabalho: 
 
 
 
 Resultado: o trabalho é a 
integral da força do 
intervalo do deslocamento 
 O resultado anterior é correto para o caso de movimento em uma dimensão. 
 Se o movimento se der em duas ou mais dimensões, temos que combinar o 
produto escalar com a integração. 
 
 
 
 (Esta é a expressão mais geral 
 do trabalho realizado por uma força.) 
 Ao usar componentes Cartesianas, isto resulta em três integrações 
Trabalho realizado por força variável (4) 
Lembretes da integração (1) 
 Todas as integrais indefinidas tem uma constante aditiva, c 
 Integrais definidas são obtidas inserindo limites superiores e inferiores no 
resultado da integral indefinida e obtendo a diferença 
 Integração é o processo inverso à diferenciação 
 Algumas integrais 
 Polinômios 
Lembretes da integração (2) 
 Funções trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 Exponenciais: 
 
 
 
 Para mais integrais, por favor, consulte matemática básica 
Força elástica 
 Vamos observar a força necessária para esticar ou comprimir uma mola 
 Se você puxar um pouco uma mola, ela oferece pouca resistência 
 Se você puxar muito uma mola, ela oferece muita resistência 
 Quanto mais você puxar, mais a mola empurra de volta 
 A força exercida pela mola é proporcional à distância que ela é esticada 
 Fs = -kx 
 A constante k é chamada de constante elástica 
 O sinal de menos aparece porque a força é no sentido oposto ao deslocamento 
 Esta lei é comumente chamada de lei de Hooke 
Determinando a constante elástica 
 Para determinar a constante elástica 
de uma mola, começamos com a mola 
pendurada verticalmente 
 
 Acrescentamos um peso conhecido à 
mola e medimos o deslocamento com 
relação à posição de equilíbrio 
Trabalho na força elástica 
 Força elástica: 
 
 
 Trabalho para mudar a posição de uma massa em uma mola de x0 para x: 
(para força elástica) 
Exemplo: compressão de uma mola (1) 
 Uma mola sem massa sobre uma superfície horizontal lisa é comprimida por uma 
força de 63,5 N, o que resulta em uma compressão de 4,35 cm em relação ao 
equilíbrio. Então uma bola de aço de massa 0,075 kg é colocada em frente à 
mola, que é liberada. 
Questão: 
 Qual é a velocidade da bola de aço quando é arremessada pela mola? 
Resposta: 
 Como primeiro passo neste cálculo, 
precisamos determinar a constante 
elástica k da mola: 
 
Exemplo: compressão de uma mola (2) 
 Use a fórmula do trabalho para molas que acabamos de derivar para 
calcular o trabalho necessário para comprimir a mola. 
 Estabeleça x0 = 0 e x = 0.0435 m 
 Trabalho: 
 
 
 Quando a mola é liberada, ela realiza 2,76 J de trabalho na bola de aço. 
 Teorema do trabalho e energia cinética: a energia cinética da bola de 
aço quando ela passa de x0 é de K = 2.76 J 
 Porque K = mv2/2: 
Potência 
 Qualquer carro pode chegar ao limite de velocidade, mas alguns carros 
chegam lá mais rápido! 
 Por quê? Eles têm potência; e potência custa dinheiro. 
 
 Definição física de potência: Potência = taxa temporal com que o trabalho 
é feito. 
 
 
 Potência média 
Unidade de potência 
 Análise das unidades: 
 
 A potência recebeu sua própria unidade, o Watt (W) 
 Possível confusão: W em itálico: símbolo físico de energia; W não itálico: 
símbolo da unidade de potência 
 Conversão: 1 W = 1 J/s => 1 J = 1 Ws 
 Unidade de energia útil e bastante comum: 
 
 
 Unidades de potência que não são do SI (mas amplamente usadas 
para carros) 
 Trabalho para uma força constante 
 Diferencial: (porque F=constante) 
 De acordo com a definição de potência: 
 
 
 
 
 
 Resposta final: 
 
 Ou: 
Potência para uma força constante 
Exemplo: aceleração de um carro (1) 
Questão: 
 Um carro de massa 3.779 lb (= 1.714 kg) pode atingir uma velocidade 
de 60 mph (26,8 m/s) em 7,1 s. Qual é a potência média necessária para 
realizar isso? 
Resposta: 
 A energia cinética do carro a 60 mph é 
 
 
 Teorema do trabalho e energia 
cinética: 
Exemplo: aceleraçãode um carro (2) 
 Potência média necessária para chegar a 60 mph em 7,1 s: 
 
 
 
 Debate: Isto é realista? 
 Não! 116 hp não são suficientes para realizar esta aceleração em um carro de massa 
1714kg. São necessários no mínimo 180 hp (este Aztek tem 185 hp). 
 Por quê? Um motor que não seja 
perfeitamente eficiente não será 
capaz de produzir o máximo de 
hp em todas as rpm; energia é 
perdida devido ao atrito e 
à resistência 
Potência para manter um carro em movimento 
 Um carro viaja a 60,0 mph em uma estrada plana. O carro tem um coeficiente 
de arrasto de 0,33 e uma área frontal de 2,2 m2. Qual a potência necessária para 
que o carro mantenha a sua velocidade escalar? Considere a densidade do ar igual 
a 1,29 kg/m3. 
 Podemos escrever a potência como 
 
 A força aqui é a de resistência do ar 
 
 
 Podemos combinar estas equações para obter 
 
 
 Então a potência necessária para superar a resistência do ar é de 
 Definição: 
 
 
(nota: K não pode nunca ser negativo!) 
 
 Unidade de energia: 
 
 
 Teorema do trabalho e energia cinética: 
Resumo: energia cinética 
1 J = 1 kg m2 s-2 
Resumo: trabalho 
 Trabalho para força constante - 1d 
 
 
 
 Trabalho para força constante - 3d 
 
 
 
 Trabalho realizado por força 
variável, caso 1d 
 Casos 3d mais gerais 
 
 
 
 Trabalho realizado contra a 
gravidade 
 
 
 Trabalho que muda o comprimento 
de uma mola 
Wg = mgh 
 Definição de potência como a 
taxa temporal com que o trabalho 
é feito. 
 
 
 
 Potência média em um intervalo de 
tempo ∆t 
 
 
 
 Unidades de potência (SI) 
Resumo: potência 
 Unidades de potência (não SI) 
 
 
 Unidade comum de energia 
 
 
 Potência para força constante 
1 W = 1 J/s