Resolva a equação x^3 - 3x + 2 = 0. Resposta: x = 1 e x = -1 \pm \sqrt{2}. Explicação: Fatorize a equação para obter as raízes.

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Para resolver a equação \( x^3 - 3x + 2 = 0 \), vamos fatorá-la. 1. Encontrar uma raiz: Testamos valores inteiros. Ao testar \( x = 1 \): \[ 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Portanto, \( x = 1 \) é uma raiz. 2. Fatorar a equação: Sabendo que \( x - 1 \) é um fator, podemos usar a divisão sintética ou polinomial para dividir \( x^3 - 3x + 2 \) por \( x - 1 \). Dividindo, obtemos: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) \] 3. Fatorar o polinômio quadrático: Agora, fatoramos \( x^2 + x - 2 \): \[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \] 4. Escrever a equação fatorada: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2 (x + 2) = 0 \] 5. Encontrar as raízes: - \( (x - 1)^2 = 0 \) dá \( x = 1 \) (raiz dupla). - \( (x + 2) = 0 \) dá \( x = -2 \). Portanto, as raízes da equação \( x^3 - 3x + 2 = 0 \) são: \[ x = 1 \quad \text{e} \quad x = -2. \]

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Determine a transformada de Laplace de t^2.

\frac{2}{s^3}.
Explicação: A fórmula da transformada de Laplace para t^n é \frac{n!}{s^{n+1}}.

Encontre a integral \int e^{-x^2} \, dx.

Resposta: Não tem uma solução expressa em termos de funções elementares.
Explicação: Esta é a função de erro, comumente denotada por \text{erf}(x).

Resolva a equação diferencial \frac{dy}{dx} = e^x \cos(y).

Resposta: Solução implícita dada por \int \frac{dy}{\cos(y)} = \int e^x \, dx.
Explicação: Separar variáveis e integrar ambos os lados.

Determine a área sob a curva y = e^{-x} de x = 0 a x = \infty.

Resposta: 1.
Explicação: Calcule a integral \int_0^\infty e^{-x} \, dx.

Calcule a integral \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx.

Resposta: \ln|\ln(x)| + C.
Explicação: Use a substituição u = \ln(x), resultando na integral \int \frac{1}{u} \, du.

Determine a transformada de Laplace de \cos(at).

Resposta: \frac{s}{s^2 + a^2}.
Explicação: A fórmula da transformada de Laplace para \cos(at) é \frac{s}{s^2 + a^2}.

Resolva a integral \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx.

Resposta: -\sqrt{1 - x^2} + C.
Explicação: Use a substituição u = 1 - x^2, resultando na integral \int -\frac{1}{2} u^{-1/2} \, du.

Determine o máximo e mínimo de f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Resposta: Máximo em (1, 4), mínimo em (3, 0).
Explicação: Calcule a primeira derivada, encontre os pontos críticos e avalie f(x).

Resolva a equação \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2.

Resposta: Solução implícita dada pela equação diferencial não-linear, que não tem uma solução geral simples.
Explicação: A solução é complexa e geralmente requer métodos numéricos ou aproximações.

Cálculo

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Determine a transformada de Laplace de t^2.

\frac{2}{s^3}.
Explicação: A fórmula da transformada de Laplace para t^n é \frac{n!}{s^{n+1}}.

Encontre a integral \int e^{-x^2} \, dx.

Resposta: Não tem uma solução expressa em termos de funções elementares.
Explicação: Esta é a função de erro, comumente denotada por \text{erf}(x).

Resolva a equação diferencial \frac{dy}{dx} = e^x \cos(y).

Resposta: Solução implícita dada por \int \frac{dy}{\cos(y)} = \int e^x \, dx.
Explicação: Separar variáveis e integrar ambos os lados.

Determine a área sob a curva y = e^{-x} de x = 0 a x = \infty.

Resposta: 1.
Explicação: Calcule a integral \int_0^\infty e^{-x} \, dx.

Calcule a integral \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx.

Resposta: \ln|\ln(x)| + C.
Explicação: Use a substituição u = \ln(x), resultando na integral \int \frac{1}{u} \, du.

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Resposta: \frac{s}{s^2 + a^2}.
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Resposta: -\sqrt{1 - x^2} + C.
Explicação: Use a substituição u = 1 - x^2, resultando na integral \int -\frac{1}{2} u^{-1/2} \, du.

Determine o máximo e mínimo de f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Resposta: Máximo em (1, 4), mínimo em (3, 0).
Explicação: Calcule a primeira derivada, encontre os pontos críticos e avalie f(x).

Resolva a equação \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2.

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Determine o máximo e mínimo de f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.Resposta: Máximo em (1, 4), mínimo em (3, 0).Explicação: Calcule a primeira derivada, encontre os pontos críticos e avalie f(x).

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Resposta: 1.
Explicação: Calcule a integral \int_0^\infty e^{-x} \, dx.

Calcule a integral \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx.

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Explicação: Use a substituição u = \ln(x), resultando na integral \int \frac{1}{u} \, du.

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Resposta: \frac{s}{s^2 + a^2}.
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Resolva a integral \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx.

Resposta: -\sqrt{1 - x^2} + C.
Explicação: Use a substituição u = 1 - x^2, resultando na integral \int -\frac{1}{2} u^{-1/2} \, du.

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Resposta: Máximo em (1, 4), mínimo em (3, 0).
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