Problema: Resolva a equação 3^{2x} = 9^{x+1}. Resposta: x = -1. Explicação: Reescreva 9 como 3^2 e iguale os expoentes.

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Vamos resolver a equação \(3^{2x} = 9^{x+1}\) passo a passo. 1. Reescreva 9 como \(3^2\): \[ 9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x + 2} \] 2. Iguale as bases: Agora temos: \[ 3^{2x} = 3^{2x + 2} \] 3. Iguale os expoentes: Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes: \[ 2x = 2x + 2 \] 4. Resolva a equação: Subtraindo \(2x\) de ambos os lados: \[ 0 = 2 \] Isso não é verdade, então precisamos revisar a equação. Na verdade, ao reescrever a equação, percebemos que não há solução real para \(x\) que satisfaça a equação original. Portanto, a resposta correta é que não há solução. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!

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Problema: Encontre as raízes da equação x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0.

x = 1, -2, 3.
Explicação: Fatorize a equação.

Problema: Resolva a equação diferencial dy/dx = y cos(x).

Resposta: y = C e^{sin(x)}.
Explicação: Separe variáveis e integre.

Problema: Determine o valor de x para log_{2}(x^2 - 4) = 3.

Resposta: x = 6 e x = -6.
Explicação: Resolva a equação exponencial.

Problema: Encontre a integral de ∫ x^2/√(x^2 + 1) dx.

Resposta: (1/3)(x^2 + 1)^{3/2} + C.
Explicação: Use a substituição u = x^2 + 1.

Problema: Encontre o limite de lim_{x → ∞} ln(x)/x.

Resposta: 0.
Explicação: Use a regra de L'Hôpital.

Problema: Resolva (1/x) + (1/(x+2)) = 1/2.

Resposta: x = 2.
Explicação: Combine frações e resolva a equação resultante.

Problema: Encontre a integral de ∫ e^x/(e^{2x} + 1) dx.

Resposta: (1/2) ln |e^{2x} + 1| + C.
Explicação: Use a substituição u = e^x.

Problema: Resolva a equação diferencial y'' - y = 0.

Resposta: y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.
Explicação: Encontre a solução geral da equação diferencial.

Problema: Encontre as soluções da equação x^4 - 4x^2 + 4 = 0.

Resposta: x = ±1, ±2.
Explicação: Faça uma substituição u = x^2 e resolva.

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Resposta: x = 2.
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Resposta: (1/2) ln |e^{2x} + 1| + C.
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