Problema: Encontre o limite de lim_{x → 0} (sin(x) - x)/(x^3). Resposta: -1/6. Explicação: Use a expansão em série de Taylor para resolver.

Para encontrar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}\), podemos usar a expansão em série de Taylor para \(\sin(x)\): \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \ldots \] Substituindo na expressão: \[ \sin(x) - x = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \ldots\right) - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \ldots \] Agora, substituímos isso no limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \ldots}{x^3} \] Isso simplifica para: \[ \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \ldots\right) \] Quando \(x\) se aproxima de 0, os termos que contêm \(x\) vão a 0, então ficamos com: \[ -\frac{1}{6} \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} = -\frac{1}{6} \]