Calcule a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \, dx\). Resposta: \(\frac{2\sqrt{x}}{3} - \ln|x + 1| + C\).

Para calcular a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = \sqrt{x}\), o que implica que \(x = u^2\) e \(dx = 2u \, du\). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \, dx = \int \frac{u}{u^2 + 1} \cdot 2u \, du = 2 \int \frac{u^2}{u^2 + 1} \, du \] Agora, podemos dividir a fração: \[ 2 \int \left(1 - \frac{1}{u^2 + 1}\right) \, du = 2 \left( \int 1 \, du - \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \right) \] Calculando as integrais: 1. \(\int 1 \, du = u\) 2. \(\int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \tan^{-1}(u)\) Portanto, temos: \[ 2 \left( u - \tan^{-1}(u) \right) + C \] Substituindo \(u = \sqrt{x}\): \[ 2 \left( \sqrt{x} - \tan^{-1}(\sqrt{x}) \right) + C \] Assim, a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \, dx\) resulta em: \[ 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}(\sqrt{x}) + C \] A resposta que você forneceu não está correta. A integral correta é: \[ 2\sqrt{x} - 2\tan^{-1}(\sqrt{x}) + C \]