Determine o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{x^2}\).

Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{x^2}\), podemos simplificar a expressão. 1. Substituição: Quando \(x\) se aproxima de 0, \(\ln(x + 1)\) se aproxima de \(\ln(1) = 0\). Assim, a expressão se torna uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). 2. Aplicar a regra de L'Hôpital: Como temos uma forma indeterminada, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador. - Derivada do numerador: \( \frac{d}{dx}[x \ln(x + 1)] = \ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1} \) - Derivada do denominador: \( \frac{d}{dx}[x^2] = 2x \) 3. Reescrevendo o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1}}{2x} \] 4. Substituindo \(x = 0\): - \(\ln(1) = 0\) - \(\frac{0}{1} = 0\) Portanto, o numerador se torna \(0 + 0 = 0\), e o denominador se torna \(0\), ainda temos uma forma indeterminada. 5. Aplicar a regra de L'Hôpital novamente: - Derivada do numerador: \( \frac{d}{dx}[\ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1}] = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)^2} \) - Derivada do denominador: \( \frac{d}{dx}[2x] = 2 \) 6. Reescrevendo o limite novamente: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)^2}}{2} \] 7. Substituindo \(x = 0\): \[ \frac{\frac{1}{1} + \frac{1}{1^2}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{x^2} = 1 \]