Resolva \( \log_2(x^2 - 2x) = 4 \). Resposta: \( x = 10 \) ou \( x = -4 \).

Vamos resolver a equação \( \log_2(x^2 - 2x) = 4 \) passo a passo. 1. Transformar a equação logarítmica em exponencial: \[ x^2 - 2x = 2^4 \] \[ x^2 - 2x = 16 \] 2. Reorganizar a equação: \[ x^2 - 2x - 16 = 0 \] 3. Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = -2 \), e \( c = -16 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{68}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{17}}{2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{17} \] 4. Encontrar as soluções: \[ x_1 = 1 + \sqrt{17} \quad (\text{aproximadamente } 5.123) \] \[ x_2 = 1 - \sqrt{17} \quad (\text{aproximadamente } -3.123) \] 5. Verificar se as soluções são válidas: Para que \( \log_2(x^2 - 2x) \) seja definido, \( x^2 - 2x \) deve ser maior que 0. - Para \( x_1 \): \( x^2 - 2x > 0 \) é verdadeiro. - Para \( x_2 \): \( x^2 - 2x < 0 \) (não é válido). Portanto, a única solução válida é \( x = 1 + \sqrt{17} \). A resposta correta é \( x \approx 5.123 \).