Resolva \( \log_4(x - 2) = \log_4(2x) - 1 \). x = 4

Para resolver a equação \( \log_4(x - 2) = \log_4(2x) - 1 \), vamos seguir os passos: 1. Reescreva a equação: A parte \( -1 \) pode ser reescrita como \( \log_4(4) \), então temos: \[ \log_4(x - 2) = \log_4(2x) - \log_4(4) \] 2. Use a propriedade dos logaritmos: A subtração de logaritmos pode ser transformada em uma divisão: \[ \log_4(x - 2) = \log_4\left(\frac{2x}{4}\right) \] Simplificando, temos: \[ \log_4(x - 2) = \log_4\left(\frac{x}{2}\right) \] 3. Iguale os argumentos: Como as bases são iguais, podemos igualar os argumentos: \[ x - 2 = \frac{x}{2} \] 4. Resolva a equação: Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: \[ 2(x - 2) = x \] Isso resulta em: \[ 2x - 4 = x \] Subtraindo \( x \) de ambos os lados: \[ 2x - x = 4 \] Portanto: \[ x = 4 \] 5. Verifique a solução: Substitua \( x = 4 \) na equação original: \[ \log_4(4 - 2) = \log_4(2 \cdot 4) - 1 \] Isso se torna: \[ \log_4(2) = \log_4(8) - 1 \] E sabemos que \( \log_4(8) = 3/2 \) e \( 1 = \log_4(4) \), então: \[ \log_4(2) = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] A verificação confirma que a solução está correta. Portanto, a solução é \( x = 4 \).