Calcule a distância do ponto Po= (1,3,2) à reta dada pelas equações simétricas: x/2=y-2/2=z-6/1

Para calcular a distância do ponto \( P_0(1, 3, 2) \) à reta dada pelas equações simétricas \( \frac{x}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-6}{1} \), siga os passos abaixo: 1. Identifique um ponto na reta: A reta pode ser parametrizada. Se \( t \) for o parâmetro, temos: \[ x = 2t, \quad y = 2t + 2, \quad z = t + 6 \] Para \( t = 0 \), um ponto na reta é \( P(0, 2, 6) \). 2. Determine o vetor diretor da reta: O vetor diretor \( \vec{v} \) da reta é dado pelos coeficientes de \( t \): \[ \vec{v} = (2, 2, 1) \] 3. Calcule o vetor \( \vec{P_0P} \): O vetor que vai do ponto \( P_0 \) ao ponto \( P \) na reta é: \[ \vec{P_0P} = P - P_0 = (0 - 1, 2 - 3, 6 - 2) = (-1, -1, 4) \] 4. Projete \( \vec{P_0P} \) sobre \( \vec{v} \): A projeção de \( \vec{P_0P} \) sobre \( \vec{v} \) é dada por: \[ \text{proj}_{\vec{v}} \vec{P_0P} = \frac{\vec{P_0P} \cdot \vec{v}}{\vec{v} \cdot \vec{v}} \vec{v} \] Primeiro, calcule \( \vec{P_0P} \cdot \vec{v} \): \[ \vec{P_0P} \cdot \vec{v} = (-1)(2) + (-1)(2) + (4)(1) = -2 - 2 + 4 = 0 \] E \( \vec{v} \cdot \vec{v} \): \[ \vec{v} \cdot \vec{v} = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \] Portanto, a projeção é: \[ \text{proj}_{\vec{v}} \vec{P_0P} = \frac{0}{9} \vec{v} = (0, 0, 0) \] 5. Calcule a distância: A distância \( d \) do ponto \( P_0 \) à reta é a norma do vetor \( \vec{P_0P} - \text{proj}_{\vec{v}} \vec{P_0P} \): \[ d = \| \vec{P_0P} - (0, 0, 0) \| = \| (-1, -1, 4) \| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Portanto, a distância do ponto \( P_0(1, 3, 2) \) à reta é \( 3\sqrt{2} \).