Use o mesmo truque aplicado para a determinação da primitiva de y = ln(x) para calcular a primitiva de y = arctg(x).

Para calcular a primitiva de \( y = \arctan(x) \), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos seguir os passos: 1. Escolha \( u \) e \( dv \): - Seja \( u = \arctan(x) \) e \( dv = dx \). - Então, \( du = \frac{1}{1+x^2} dx \) e \( v = x \). 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int \arctan(x) \, dx = x \cdot \arctan(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx \] 3. Simplifique a integral restante: A integral \( \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx \) pode ser resolvida por substituição. Seja \( w = 1 + x^2 \), então \( dw = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{dw}{2x} \). Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{x}{w} \cdot \frac{dw}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} \, dw = \frac{1}{2} \ln|w| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C \] 4. Combine os resultados: Agora, substituindo de volta: \[ \int \arctan(x) \, dx = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C \] Portanto, a primitiva de \( y = \arctan(x) \) é: \[ \int \arctan(x) \, dx = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C \]