Determine as coordenadas do centro geométrico da região limitada pela parábola y = −x² + 3x− 2 e a reta y = 0. (Sugestão: use o Teorema de Papus)

Para determinar as coordenadas do centro geométrico da região limitada pela parábola \( y = -x^2 + 3x - 2 \) e a reta \( y = 0 \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos a parábola a zero para encontrar os limites da região. \[ -x^2 + 3x - 2 = 0 \] Resolvendo a equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-1)} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-2} = \frac{-3 \pm 1}{-2} \] Isso nos dá \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 2. Calcular a área da região: A área \( A \) entre a parábola e a reta é dada por: \[ A = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) \, dx \] Calculando a integral: \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left( -\frac{8}{3} + 6 - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right) \] Simplificando, encontramos a área. 3. Encontrar o centro geométrico: Usando o Teorema de Pappus, o centro geométrico \( \bar{y} \) da região é dado por: \[ \bar{y} = \frac{1}{A} \int_{1}^{2} \left( -x^2 + 3x - 2 \right) \cdot \frac{(-x^2 + 3x - 2)}{2} \, dx \] Isso envolve calcular a integral do momento em relação ao eixo \( x \). 4. Coordenadas do centro geométrico: A coordenada \( \bar{x} \) é a média dos limites, que é \( \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \). Assim, as coordenadas do centro geométrico são \( (1.5, \bar{y}) \), onde \( \bar{y} \) é calculado a partir da integral. Ao final, você terá as coordenadas do centro geométrico da região. Se precisar de mais detalhes sobre os cálculos, é só avisar!