Calcule a primitiva de y = √(1− x²) usando a integração por partes. (Sugestão: multiplique e divida a função pelo 'conjugado'.)

Para calcular a primitiva de \( y = \sqrt{1 - x^2} \) usando a integração por partes, siga os passos abaixo: 1. Multiplique e divida pelo conjugado: \[ y = \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{(1 - x^2)(1 + x^2)}}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{1 - x^4}}{\sqrt{1 + x^2}} \] 2. Defina as funções para a integração por partes: Seja \( u = \sqrt{1 + x^2} \) e \( dv = \sqrt{1 - x^4} \, dx \). 3. Calcule \( du \) e \( v \): - Derivando \( u \): \[ du = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \] - Para \( v \), você precisaria integrar \( \sqrt{1 - x^4} \), que pode ser complicado. Uma abordagem alternativa é usar a substituição trigonométrica. 4. Substituição trigonométrica: Use \( x = \sin(\theta) \), então \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \) e a integral se transforma em: \[ \int \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \cos(\theta) \, d\theta = \int \cos^2(\theta) \, d\theta \] 5. Resolva a integral: A integral de \( \cos^2(\theta) \) pode ser resolvida usando a identidade: \[ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \] Portanto: \[ \int \cos^2(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right) + C \] 6. Volte à variável original: Substitua \( \theta \) de volta em termos de \( x \). Assim, a primitiva de \( y = \sqrt{1 - x^2} \) é obtida. Se precisar de mais detalhes em algum passo, é só avisar!