Para determinar se uma função é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades fundamentais: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \) no domínio. 2. Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para todo escalar \( c \) e vetor \( u \) no domínio. Vamos analisar cada uma das funções: (a) \( T(x, y) = (x^2, y) \) - Aditividade: \( T((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = ((x_1 + x_2)^2, y_1 + y_2) \neq (x_1^2 + x_2^2, y_1 + y_2) \) - Homogeneidade: \( T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (c^2x^2, cy) \neq c(x^2, y) \) - Conclusão: Não é uma transformação linear. (b) \( T(x, y) = (x, x + 1) \) - Aditividade: \( T((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2, (x_1 + x_2) + 1) \neq (x_1, x_1 + 1) + (x_2, x_2 + 1) \) - Homogeneidade: \( T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (cx, cx + 1) \neq c(x, x + 1) \) - Conclusão: Não é uma transformação linear. (c) \( T(x, y) = \begin{bmatrix} 2y & 3x \\ -y & x + y \end{bmatrix} \) - Aditividade: Verificando, \( T((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) \) resulta em uma matriz que é a soma das matrizes de \( T(x_1, y_1) \) e \( T(x_2, y_2) \). - Homogeneidade: \( T(c(x, y)) = T(cx, cy) \) resulta em uma matriz que é \( c \) vezes a matriz de \( T(x, y) \). - Conclusão: É uma transformação linear. (d) \( T(ax^3 + bx^2 + cx + d) = bx^2 + cx + d \) - Aditividade: \( T(p + q) = T(p) + T(q) \) para polinômios \( p \) e \( q \) de grau até 3. - Homogeneidade: \( T(cp) = cT(p) \) para um escalar \( c \). - Conclusão: É uma transformação linear. Portanto, as transformações lineares são: - (c) e (d).