Considere a aplicação T : IR2 → IR3 definida por T (x, y) = (x + ky, x + k, y). Verifique em que casos T é linear: k = x, k = 0, k = 1, k = y.

Para verificar se a aplicação \( T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) definida por \( T(x, y) = (x + ky, x + k, y) \) é linear, precisamos checar duas propriedades: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^2 \). 2. Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para todo \( u \in \mathbb{R}^2 \) e \( c \in \mathbb{R} \). Vamos analisar cada caso de \( k \): 1. \( k = x \): Aqui, \( T(x, y) = (x + xy, x + x, y) \). A aplicação não é linear, pois a dependência de \( k \) em \( x \) quebra a homogeneidade. 2. \( k = 0 \): Neste caso, \( T(x, y) = (x, x, y) \). Vamos verificar: - Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) é satisfeito. - Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) também é satisfeito. Portanto, \( T \) é linear. 3. \( k = 1 \): Aqui, \( T(x, y) = (x + y, x + 1, y) \). Vamos verificar: - Aditividade: \( T(u + v) \neq T(u) + T(v) \) (não é satisfeito). - Homogeneidade: \( T(cu) \neq cT(u) \) (não é satisfeito). Portanto, \( T \) não é linear. 4. \( k = y \): Neste caso, \( T(x, y) = (x + y^2, x + y, y) \). Vamos verificar: - Aditividade: \( T(u + v) \neq T(u) + T(v) \) (não é satisfeito). - Homogeneidade: \( T(cu) \neq cT(u) \) (não é satisfeito). Portanto, \( T \) não é linear. Conclusão: A aplicação \( T \) é linear apenas para \( k = 0 \).