Para a transformação linear \( T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x, y, z) = (x, y, 0) \): 1. Núcleo (Ker): O núcleo de \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(x, y, z) = (0, 0, 0) \). Isso ocorre quando \( x = 0 \) e \( y = 0 \), mas \( z \) pode ser qualquer valor. Portanto, o núcleo é: \[ \text{Ker}(T) = \{(0, 0, z) \mid z \in \mathbb{R}\} \] Geometricamente, isso representa a reta ao longo do eixo \( z \). 2. Imagem (Im): A imagem de \( T \) é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação. Como \( T(x, y, z) = (x, y, 0) \), a imagem é: \[ \text{Im}(T) = \{(x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} \] Geometricamente, isso representa o plano \( z = 0 \) no espaço \( \mathbb{R}^3 \). 3. Dimensões: - A dimensão do núcleo \( \text{dim}(\text{Ker}(T)) = 1 \) (uma reta). - A dimensão da imagem \( \text{dim}(\text{Im}(T)) = 2 \) (um plano). - A dimensão do domínio \( \text{dim}(\mathbb{R}^3) = 3 \). 4. Relação entre dimensões: A relação entre as dimensões é dada pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema da Rango-Núcleo): \[ \text{dim}(\text{Ker}(T)) + \text{dim}(\text{Im}(T)) = \text{dim}(\mathbb{R}^3) \] Ou seja: \[ 1 + 2 = 3 \] Isso confirma que a soma das dimensões do núcleo e da imagem é igual à dimensão do domínio da transformação.