Para determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear \( T: M_2(\mathbb{R}) \to M_2(\mathbb{R}) \) definida por \( T(X) = MX - XM \), onde \( M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar o núcleo de \( T \): O núcleo de \( T \) é o conjunto de matrizes \( X \) tal que \( T(X) = 0 \). Isso significa que precisamos resolver a equação: \[ MX - XM = 0 \] Substituindo \( M \) e \( X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), temos: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \] Calculando, obtemos: \[ \begin{pmatrix} a + 2c & b + 2d \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 2a + b \\ c & 2c + d \end{pmatrix} = 0 \] Isso resulta em um sistema de equações: - \( 2c = 0 \) → \( c = 0 \) - \( b + 2d = 2a + b \) → \( 2d = 2a \) → \( d = a \) Portanto, o núcleo é formado por matrizes da forma: \[ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \] A base do núcleo é dada por: \[ \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \] A dimensão do núcleo é 2. 2. Encontrar a imagem de \( T \): Para encontrar a imagem, precisamos determinar a forma geral das matrizes que podem ser obtidas através de \( T(X) \). A imagem é o conjunto de todas as matrizes da forma \( T(X) \). A transformação \( T \) é linear, e a dimensão do espaço \( M_2(\mathbb{R}) \) é 4. Usando a fórmula da dimensão: \[ \text{dim}(\text{imagem}) = \text{dim}(M_2(\mathbb{R})) - \text{dim}(\text{núcleo}) \] Temos: \[ \text{dim}(\text{imagem}) = 4 - 2 = 2 \] 3. Base da imagem: Para encontrar uma base da imagem, podemos calcular \( T \) em algumas matrizes básicas de \( M_2(\mathbb{R}) \) e observar os resultados. Por exemplo, ao aplicar \( T \) em matrizes como \( E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22} \) (onde \( E_{ij} \) é a matriz com 1 na posição \( (i,j) \) e 0 em outros lugares), podemos determinar a forma das matrizes resultantes. Após calcular, encontramos que a imagem é gerada por duas matrizes lineares independentes, que podem ser escolhidas como: \[ \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\} \] Resumindo: - A base do núcleo é \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \) e a dimensão do núcleo é 2. - A dimensão da imagem é 2, e uma base da imagem pode ser \( \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\} \).