Determine a derivada da função f(x)=(3x²+1)/(2x). Resposta Marcada : f’ (x)=(3x²-1)/2x².

Para determinar a derivada da função \( f(x) = \frac{3x^2 + 1}{2x} \), podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma \( \frac{u}{v} \), onde \( u = 3x^2 + 1 \) e \( v = 2x \), a derivada é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] 1. Calcule \( u' \) e \( v' \): - \( u' = 6x \) (derivada de \( 3x^2 + 1 \)) - \( v' = 2 \) (derivada de \( 2x \)) 2. Aplique a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{(6x)(2x) - (3x^2 + 1)(2)}{(2x)^2} \] 3. Simplifique: \[ f'(x) = \frac{12x^2 - (6x^2 + 2)}{4x^2} = \frac{12x^2 - 6x^2 - 2}{4x^2} = \frac{6x^2 - 2}{4x^2} \] 4. Fatorando: \[ f'(x) = \frac{2(3x^2 - 1)}{4x^2} = \frac{3x^2 - 1}{2x^2} \] Portanto, a derivada correta é: \[ f'(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2} \] A resposta marcada está correta!