Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^6 - 1}{x - 1} \)? A) 0 B) 1 C) 2 D) 6

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^6 - 1}{x - 1} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou fatorar a expressão. Primeiro, notamos que quando substituímos \( x = 1 \), tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \). Podemos fatorar o numerador \( x^6 - 1 \) usando a diferença de quadrados: \[ x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \] E \( x^3 - 1 \) pode ser fatorado ainda mais: \[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \] Assim, temos: \[ x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^3 + 1) \] Substituindo na expressão do limite, obtemos: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^3 + 1)}{x - 1} \] Cancelando \( x - 1 \): \[ \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1)(x^3 + 1) \] Agora, substituímos \( x = 1 \): \[ (1^2 + 1 + 1)(1^3 + 1) = (1 + 1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6 \] Portanto, o valor do limite é \( 6 \). A alternativa correta é: D) 6.