Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \)? A) 0 B) 1 C) 2 D) 5

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou fatorar a expressão. Primeiro, notamos que quando substituímos \( x = 1 \), tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma indeterminação do tipo \( \frac{0}{0} \). Podemos fatorar o numerador \( x^5 - 1 \) usando a diferença de potências: \[ x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{x^5 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} \] Cancelando \( x - 1 \) (exceto quando \( x = 1 \)), temos: \[ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \] Agora, podemos calcular o limite: \[ \lim_{x \to 1} (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 5 \] Portanto, o valor do limite é: D) 5.